《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

24. (12分)问题背景:课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:
①如图①,在正$ \triangle ABC $中,$M$、$N分别是AC$、$AB$上的点,$BM与CN相交于点O$,若$ \angle BON = 60^{\circ} $,则$ BM = CN $;
②如图②,在正方形$ABCD$中,$M$、$N分别是CD$、$AD$上的点,$BM与CN相交于点O$,若$ \angle BON = 90^{\circ} $,则$ BM = CN $.
然后运用类似的思想提出了如下命题:
③如图③,在正五边形$ABCDE$中,$M$、$N分别是CD$、$DE$上的点,$BM与CN相交于点O$,若$ \angle BON = 108^{\circ} $,则$ BM = CN $.
任务要求:
(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明.
(2)请你继续完成下面的探索.
①在正$n(n \geq 3)边形ABCDEF…$中,$M$、$N分别是CD$、$DE$上的点,$BM与CN相交于点O$,试问当$ \angle BON $等于多少度时,结论$ BM = CN $成立? (不要求证明)
②如图④,在正五边形$ABCDE$中,$M$、$N分别是DE$、$AE$上的点,$BM与CN相交于点O$,当$ \angle BON = 108^{\circ} $时,试问结论$ BM = CN $是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
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答案： （1）如果选命题①：
∵$\angle BON = 60^{\circ}$，
∴$\angle1+\angle2 = 60^{\circ}$。
∵$\angle3+\angle2 = 60^{\circ}$，
∴$\angle1=\angle3$。又
∵$BC = CA$，$\angle BCM=\angle CAN = 60^{\circ}$，
∴$\triangle BCM\cong\triangle CAN(ASA)$，
∴$BM = CN$；如果选命题②：
∵$\angle BON = 90^{\circ}$，
∴$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$。
∵$\angle3+\angle2 = 90^{\circ}$，
∴$\angle1=\angle3$。又
∵$BC = CD$，$\angle BCM=\angle CDN = 90^{\circ}$，
∴$\triangle BCM\cong\triangle CDN(ASA)$，
∴$BM = CN$；如果选命题③：
∵$\angle BON = 108^{\circ}$，
∴$\angle1+\angle2 = 108^{\circ}$。
∵$\angle2+\angle3 = 108^{\circ}$，
∴$\angle1=\angle3$。又
∵$BC = CD$，$\angle BCM=\angle CDN = 108^{\circ}$，
∴$\triangle BCM\cong\triangle CDN(ASA)$，
∴$BM = CN$；（2）①当$\angle BON=\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$时，结论$BM = CN$成立；②当$\angle BON = 108^{\circ}$时，$BM = CN$成立。证明：连接BD、CE，在$\triangle BCD$和$\triangle CDE$中，
∵$BC = CD$，$\angle BCD=\angle CDE = 108^{\circ}$，$CD = DE$，
∴$\triangle BCD\cong\triangle CDE$，
∴$BD = CE$，$\angle BDC=\angle CED$，$\angle DBC=\angle ECD$。
∵$\angle CDE=\angle DEN = 108^{\circ}$，
∴$\angle BDM=\angle CEN$；
∵$\angle BON=\angle OBC+\angle OCB = 108^{\circ}$，$\angle OCB+\angle OCD = 108^{\circ}$，
∴$\angle MBC=\angle NCD$。又
∵$\angle DBC=\angle ECD$，
∴$\angle DBM=\angle ECN$，
∴$\triangle BDM\cong\triangle CEN$，
∴$BM = CN$。