《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23. (10 分)某校举办“十佳歌手”演唱比赛,五位评委进行现场打分,将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图.根据以下信息,回答下列问题:
(1) 完成表格:
| | 平均数/分 | 中位数/分 | 众数/分 | 方差/分^2 |
| 甲 | $8.8$ | ①9 | $8$ 和 $9$ | $0.56$ |
| 乙 | ②8.8 | $9$ | $9$ | $0.96$ |
| 丙 | $8.8$ | $8$ | ③8 | $0.96$ |
(2) 从三位选手中选一位参加市级比赛,你认为选谁更合适,请说明理由.
选甲更合适,理由如下:三人平均分一样,说明三人实力相当,但甲的方差最小,说明甲的成绩最稳定,故选甲参加比赛更合适。(合理即可)
(3) 在演唱比赛中,往往在所有评委给出的分数中,去掉一个最高分和一个最低分,然后计算余下分数的平均分.如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为 $s^{2}$,则 $s^{2}$＜$0.56$.(填“$＜$”“$＞$”或“$=$”)

答案：
(1)①9 ②8.8 ③8
(2)选甲更合适,理由如下:三人平均分一样,说明三人实力相当,但甲的方差最小,说明甲的成绩最稳定,故选甲参加比赛更合适。(合理即可)
(3)$＜$

24. (10 分)如图, $AB$ 为 $\odot O$ 的直径,点 $C$ 在直径 $AB$ 上(点 $C$ 与 $A$、$B$ 两点不重合), $OC = 3$,点 $D$ 在 $\odot O$ 上,且满足 $AC = AD$,连接 $DC$ 并延长到点 $E$,使 $BE = BD$.
(1) 求证:$BE$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2) 当 $BE = 6$ 时,求 $\odot O$ 的半径.

答案：
(1)$\because AB$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ADB=90^{\circ }$,$\therefore ∠BDE+∠ADC=90^{\circ }$。$\because AC=AD$,$\therefore ∠ACD=∠ADC$。$\because ∠ACD=∠ECB$,$\therefore ∠ECB=∠ADC$。$\because EB=DB$,$\therefore ∠E=∠BDE$,$\therefore ∠E+∠ECB=90^{\circ }$,$\therefore ∠EBC=180^{\circ }-(∠E+∠ECB)=90^{\circ }$。$\because OB$是$\odot O$的半径,$\therefore BE$是$\odot O$的切线。
(2)设$\odot O$的半径为r。$\because OC=3$,$\therefore AC=AD=OC+AO=3 + r$。$\because BE=6$,$\therefore BD=BE=6$,在$\text{Rt}\triangle ABD$中,$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$,$\therefore 36+(r + 3)^{2}=(2r)^{2}$,$\therefore r_{1}=5$,$r_{2}=-3$(舍去),$\therefore \odot O$的半径为5。