《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

22. (10分)(2024·广东中考)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,如图是矩形PQMN充电站的平面示意图,矩形ABCD是其中一个停车位.经测量,$∠ABQ = 60^{\circ}$,$AB = 5.4m$,$CE = 1.6m$,$GH\perp CD$,GH是另一个车位的宽,所有车位的长宽相同,按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题:(结果精确到0.1 m,参考数据:$\sqrt{3}\approx 1.73$)
(1)求PQ的长;
(2)该充电站有20个停车位,求PN的长.

答案：
(1)
∵ 四边形PQMN是矩形，
∴ ∠Q = ∠P = 90°，在Rt△ABQ中，∠ABQ = 60°，AB = 5.4 m，
∴ AQ = AB·sin∠ABQ = 27√3/10 m，∠QAB = 30°.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD = BC，∠BAD = ∠BCD = ∠ABC = ∠BCE = 90°，
∴ ∠CBE = 30°，
∴ BC = CE/tan∠CBE = 8√3/5 m，
∴ AD = 8√3/5 m.
∵ ∠PAD = 180° - 30° - 90° = 60°，
∴ AP = AD·cos∠PAD = 4√3/5 m，
∴ PQ = AP + AQ = 35√3/10 m≈6.1 m.
(2)在Rt△BCE中，BE = CE/sin∠CBE = 3.2 m，在Rt△ABQ中，BQ = AB·cos∠ABQ = 2.7 m.
∵ 该充电站有20个停车位，
∴ QM = QB + 20BE = 66.7 m.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ PN = QM = 66.7 m.

23. (10分)新趋势 跨学科融合(2024·广元中考)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值$\frac{\sin α}{\sin β}$叫做介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,介质对光作用的一种特征.
(1)若光从真空射入某介质,入射角为α,折射角为β,且$\cos α=\frac{\sqrt{7}}{4}$,$β = 30^{\circ}$,求该介质的折射率;
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A、B、C、D分别是长方体棱的中点,若光线经真空从矩形$A_{1}D_{1}D_{2}A_{2}$对角线交点O处射入,其折射光线恰好从点C处射出,如图②,已知$α = 60^{\circ}$,$CD = 10cm$,求截面ABCD的面积.

答案： 1. （1）
解：
已知$\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}$，根据$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，且$0\lt\alpha\lt90^{\circ}$（因为是入射角），则$\sin\alpha=\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}$。
把$\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}$代入可得：$\sin\alpha=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{7}}{4})^{2}}=\sqrt{1 - \frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$。
又已知$\beta = 30^{\circ}$，$\sin\beta=\frac{1}{2}$。
根据折射率公式$n = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$，将$\sin\alpha=\frac{3}{4}$，$\sin\beta=\frac{1}{2}$代入得：$n=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$。
2. （2）
解：
已知$n=\frac{3}{2}$，$\alpha = 60^{\circ}$，$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$n=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$，可得$\sin\beta=\frac{\sin\alpha}{n}$。
把$n = \frac{3}{2}$，$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得：$\sin\beta=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
在图②中，设$AD = x$，$CD = 10\mathrm{cm}$，因为$O$是$A_{1}D_{1}D_{2}A_{2}$对角线交点，$A$，$D$是棱中点，所以$OD=\frac{1}{2}AD=\frac{x}{2}$。
根据三角函数关系，$\sin\beta=\frac{OD}{OC}$，$\cos\beta=\frac{CD}{OC}$，且$OC=\sqrt{OD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(\frac{x}{2})^{2}+10^{2}}$。
又因为$\sin\beta=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos\beta=\sqrt{1-\sin^{2}\beta}=\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，由$\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{OD}{CD}$（$\tan\beta=\frac{OD}{CD}$），即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{\frac{x}{2}}{10}$。
化简$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{x}{20}$，$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{x}{20}$，解得$x = 10\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
因为截面$ABCD$是矩形，根据矩形面积公式$S = AD× CD$。
把$AD = 10\sqrt{2}\mathrm{cm}$，$CD = 10\mathrm{cm}$代入得：$S=10\sqrt{2}×10 = 100\sqrt{2}\mathrm{cm}^{2}$。
综上，（1）该介质的折射率为$\frac{3}{2}$；（2）截面$ABCD$的面积为$100\sqrt{2}\mathrm{cm}^{2}$。