《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

25.(12分)在等边三角形ABC中,$AD\perp BC$于点D,半圆O的直径EF开始在边BC上,且点E与点C重合,$EF = 4$.将半圆O绕点C顺时针旋转$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$,当$\alpha = 60^{\circ}$时,半圆O与AD相切于点P.如图①所示.
(1)求AC的长度.
(2)如图②,当AC、BC分别与半圆O交于点M、N时,连接MN、OM、ON.
①求$\angle MON$的度数;
②求MN的长度.
(3)当$\alpha = 90^{\circ}$时,将半圆O沿边BC向左平移,设平移距离为x.当$\overgroup{EF}$与△ABC的边一共有两个交点时,直接写出x的取值范围.

答案： （1）如图①，连接OP，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=30°，半圆O与AD相切于点P，
∴∠APO=90°，OP=OC=$\frac{1}{2}$EF=2，
∴AO=2OP=4，
∴AC=AO+OC=6.
（2）①如图②，由题意可知，
∵点M、N在半圆O上，
∴∠MON=2∠MCN=120°.
②如图③，过点O作OP⊥MN于点P.
∵∠MON=120°，OM=ON=$\frac{1}{2}$EF=2，MN=2PN，
∴∠ONM=30°，
∴OP=$\frac{1}{2}$ON=1，
∴PN=$\sqrt{3}$，
∴MN=2$\sqrt{3}$.
（3）0≤x≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或x=6 - 2$\sqrt{3}$或6 - $\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜x＜6