《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

21. (8分)新情境 (2024·烟台中考)每年5月的第三个星期日为全国助残日,2024年的主题是“科技助残,共享美好生活”,康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售,根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元,设每辆轮椅降价$x$元,每天的销售利润为$y$元.
(1)求$y与x$的函数表达式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅?

答案：
(1)由题意，得y=(200-x)(60+x/10×4)=-2/5x²+20x+12000。
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴200-x≥180，
∴x≤20。
∵y=-2/5x²+20x+12000=-2/5(x-25)²+12250，
∴当x＜25时，y随x的增大而增大，
∴当x=20时，每天的销售利润最大，为-2/5×(20-25)²+12250=12240（元）。答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，为12240元。
(2)当y=12160时，-2/5x²+20x+12000=12160，解得x₁=10，x₂=40（不合题意，舍去），60+10/10×4=64（辆）。答：这天售出了64辆轮椅。

22. (8分)(南京中考)已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c的图像经过(-2,1)$、$(2,-3)$两点.
(1)求$b$的值.-1
(2)当$c＞-1$时,该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是____.1
(3)设$(m,0)是该函数的图像与x$轴的一个公共点.当$-1＜m＜3$时,结合函数的图像,直接写出$a$的取值范围.a＜0或a＞4/5

答案：
(1)把(-2,1)、(2,-3)代入y=ax²+bx+c中，得{1=4a-2b+c，-3=4a+2b+c}，②-①得-4=4b，
∴b=-1。
(2)1　【解析】把b=-1代入①，得1=4a+2+c，
∴a=(-1 - c)/4，
∴顶点的纵坐标为(4ac - b²)/(4a)=c + 1/(c + 1)=c + 1 + 1/(c + 1)-1。
∵c＞-1，
∴c + 1＞0。下面证明对于任意的正数a、b，都有a + b≥2√(ab)。
∵(√a-√b)²=a + b - 2√(ab)≥0，
∴a + b≥2√(ab)，当a=b时取等号，
∴c + 1 + 1/(c + 1)-1≥2√[(c + 1)·1/(c + 1)]-1=1，
∴该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1。
(3)a＜0或a＞4/5　【解析】由题意得am² - m + c=0，且c=-1 - 4a，
∴am² - m -1 -4a=0，b²-4ac=1 - 4a(-1 -4a)=1 + 4a + 16a²。若-1＜m＜2，则经过(-2,1)、(2,-3)、(m,0)的二次函数的图像开口向下，
∴a＜0，且(1+√(b²-4ac))/(2a)＜2成立，
∴a＜0；若2＜m＜3，则经过(-2,1)、(2,-3)、(m,0)的二次函数的图像开口向上，
∴a＞0，且(1+√(b²-4ac))/(2a)＜3，解得a＞4/5。综上，a＜0或a＞4/5。