《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

20. (8 分)某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛,七年级和八年级根据初赛成绩,各选出 5 名选手组成年级代表队参加学校决赛,两个队各选出的 5 名选手的决赛成绩如图所示.
(1)根据图示填写下表.
| | 平均数/分 | 中位数/分 | 众数/分 |
| 七年级 | 85 | 85 | 85 |
| 八年级 | 85 | 80 | 100 |
(2)哪一个代表队选手成绩较为稳定?

七年级的方差是$\frac{1}{5}$[(75 - 85)²+(80 - 85)²+(85 - 85)²+(85 - 85)²+(100 - 85)²]= 70(分²),八年级的方差是$\frac{1}{5}$[(70 - 85)²+(100 - 85)²+(100 - 85)²+(75 - 85)²+(80 - 85)²]= 160(分²).
∵ 七年级的方差＜八年级的方差,
∴ 七年级代表队选手成绩较为稳定.

答案： （1）85 85 80 （2）七年级的方差是$\frac{1}{5}$[(75 - 85)²+(80 - 85)²+(85 - 85)²+(85 - 85)²+(100 - 85)²]= 70(分²),八年级的方差是$\frac{1}{5}$[(70 - 85)²+(100 - 85)²+(100 - 85)²+(75 - 85)²+(80 - 85)²]= 160(分²).
∵ 七年级的方差＜八年级的方差,
∴ 七年级代表队选手成绩较为稳定.

21. (8 分)已知关于 x 的方程 $ x^{2} + ax + a - 2 = 0 $.
(1)当该方程的一个根为 1 时,求 a 的值及该方程的另一根;
(2)求证:不论 a 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.

答案： $(1)$ 求$a$的值及方程的另一根
解：已知方程$x^{2}+ax + a - 2 = 0$的一个根为$1$，将$x = 1$代入方程可得：
$1^{2}+a×1 + a - 2 = 0$
即$1 + a + a - 2 = 0$
合并同类项得$2a - 1 = 0$
移项可得$2a = 1$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将$a=\frac{1}{2}$代入原方程得$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-2 = 0$，化简为$x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$。
设方程的另一根为$x_0$，根据韦达定理$x_1× x_0=\frac{c}{a}$（对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，这里$A = 1$，$C=-\frac{3}{2}$，$x_1 = 1$），则$1× x_0=-\frac{3}{2}$，解得$x_0=-\frac{3}{2}$。
$(2)$ 证明方程有两个不相等的实数根
解：对于一元二次方程$x^{2}+ax + a - 2 = 0$，其中$A = 1$，$B = a$，$C = a - 2$。
判别式$\Delta=B^{2}-4AC$，将$A = 1$，$B = a$，$C = a - 2$代入可得：
$\Delta=a^{2}-4×1×(a - 2)$
$=a^{2}-4a + 8$
配方可得$\Delta=a^{2}-4a+4 + 4=(a - 2)^{2}+4$。
因为$(a - 2)^{2}\geq0$，所以$(a - 2)^{2}+4＞0$，即$\Delta＞0$。
所以，不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
综上，$(1)$$\boldsymbol{a=\frac{1}{2}}$，方程的另一根为$\boldsymbol{-\frac{3}{2}}$；$(2)$证明过程如上述。

22. (8 分)在一个不透明的箱子里装有 3 个红球和若干个白球,每个小球除颜色外完全相同,将小球摇匀后随机摸出一个小球,记下颜色后再放回箱子里,重复多次试验后,经统计发现摸到红球的频率大约稳定在 0.75.
(1)用频率估计概率,估计箱子里白球的个数为1个;
(2)现从该箱子里随机摸出 1 个小球,记下颜色后放回箱子里摇匀,再随机摸出 1 个小球,用画树状图或列表的方法记录颜色,求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率.
画树状图如下: 共有16种等可能的结果,其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果有6种可能,∴ 两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为6/16 = 3/8.

答案： （1）1 （2）画树状图如下: 共有16种等可能的结果,其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果有6种可能,
∴ 两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为6/16 = 3/8.