《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

1. 有以下说法:①在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角相等;②在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等;③长度相等的弧是等弧;④直径是弦,弦是直径.其中说法错误的是 (C)
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④

答案： 1.C　　[解析]在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以①错误;在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所以②正确;能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧,所以③错误;直径是弦，弦不一定是直径，所以④错误.故选C.

2. (2024·宿迁模拟)已知$\odot O$的半径为1,点$A到圆心O的距离为m$,若关于$x的方程x^{2}-2x+m= 0$不存在实数根,则点$A与\odot O$的位置关系是 (A)
A.点$A在\odot O$外
B.点$A在\odot O$上
C.点$A在\odot O$内
D.无法确定

答案： 2.A　　[解析]由题意,得$b^{2}-4ac=4-4m＜0$，解得$m＞1$，$\therefore m＞r=1$，则点A在$\odot O$外,故选A.

3. (凉山州中考)点$P是\odot O$内一点,过点$P$的最长弦的长为10 cm,最短弦的长为6 cm,则$OP$的长为 ( )

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

答案：
3.B　　[解析]如图所示,$CD\perp AB$于点P.根据题意,得$AB=10cm$，$CD=6cm$，$\therefore OC=5cm$，$CP=3cm$。根据勾股定理,得$OP=\sqrt{OC^{2}-CP^{2}}=4cm$。故选B.
　　　　

4. 如图,在正方形网格中,$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$P$均在格点处,则点$P$是下列哪个三角形的外心 ( )

A.$\triangle ACE$
B.$\triangle ABD$
C.$\triangle ACD$
D.$\triangle BCE$

答案：
4.D　　[解析]如图,设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得$PC=PE=PB=\sqrt{10}$，$\therefore$点P到B、C、E三点的距离相等，$\therefore$点P 是$\triangle BCE$的外心。故选D.
　　　　

5. (贵港中考)如图,点$A$、$B$、$C$、$D均在\odot O$上,直径$AB = 4$,点$C是\overgroup{BD}$的中点,点$D关于AB对称的点为E$,若$\angle DCE = 100^{\circ}$,则弦$CE$的长是 ( )

A.$2\sqrt{3}$
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.1

答案：
5.A　　[解析]连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作$OH\perp CE$于点H，如图。$\because \angle DCE=100^{\circ}$，$\therefore \angle DAE=180^{\circ}-\angle DCE=80^{\circ}$。$\because$点D 关于AB对称的点为E，$\therefore \angle BAD=\angle BAE=40^{\circ}$，$\therefore \angle BOD=\angle BOE=80^{\circ}$。$\because$点C是$\overset{\frown }{BD}$的中点，$\therefore \angle BOC=\angle COD=40^{\circ}$，$\therefore \angle COE=\angle BOC+\angle BOE=120^{\circ}$。$\because OE=OC$，$OH\perp CE$，$\therefore EH=CH$，$\angle OEC=\angle OCE=30^{\circ}$。$\because$直径$AB=4$，$\therefore OE=OC=2$，$\therefore EH=CH=\sqrt{3}$，$\therefore CE=2\sqrt{3}$。故选A.
　　　

6. 如图,已知$AB$是半径为1的$\odot O$的一条弦,且$AB = a ＜ 1$,以$AB为一边在\odot O内作等边三角形ABC$,$D为\odot O上不同于点A$的一点,且$DB = AB = a$,$DC的延长线交\odot O于点E$,则$AE$的长为 ( )


A.$\frac{\sqrt{5}}{2}a$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
D.$a$

答案：
6.B　　[解析]如图,连接OE、OA、OB，$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore AB=BC=AC=BD=a$，$\angle CAB=\angle ACB=60^{\circ}$。$\because AB=BD$，$\therefore \overset{\frown }{AB}=\overset{\frown }{BD}$，$\therefore \angle AED=\angle AOB$。$\because BC=AB=BD$，$\therefore \angle D=\angle BCD$。$\because$四边形EABD内接于$\odot O$，$\therefore \angle EAB+\angle D=180^{\circ}$，即$\angle EAC+60^{\circ}+\angle D=180^{\circ}$。又$\because \angle ECA+60^{\circ}+\angle BCD=180^{\circ}$，$\therefore \angle ECA=\angle EAC$，即$\triangle EAC$是等腰三角形。在等腰三角形EAC和等腰三角形OAB 中，$\angle AEC=\angle AOB$，$\therefore \angle EAC=\angle ECA=\angle OAB=\angle OBA$。$\because AC=AB$，$\therefore \triangle EAC\cong \triangle OAB$，$\therefore AE=OA=1$。故选B.