《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

24. (10分)如图①,在矩形$ABCD$中,$AB = 6cm$,$BC = 8cm$,点$P以3cm/s的速度从点A向点B$运动,点$Q以4cm/s的速度从点C向点B$运动.点$P$、$Q$同时出发,运动时间为$t秒(0\lt t\lt2)$,$\odot M是\triangle PQB$的外接圆.
(1)当$t = 1$时,$\odot M$的半径是$\frac{5}{2}$$cm$,$\odot M与直线CD$的位置关系是相离.
(2)在点$P从点A向点B$运动的过程中:
①圆心$M$的运动路径长是5$cm$;
②当$\odot M与直线AD$相切时,求$t$的值.
如图③,当⊙M与AD相切时,设切点为F,连接FM并延长交BC于点E,则EF⊥AD,EF⊥BC,则BQ=(8 - 4t)cm,PB=(6 - 3t)cm,
∴PQ=(10 - 5t)cm,
∴PM=FM=$(5-\frac{5}{2}t)$cm.在△BPQ中,ME=$\frac{1}{2}$PB=$(3-\frac{3}{2}t)$cm.
∵EF=FM+ME,
∴5-$\frac{5}{2}t$+3-$\frac{3}{2}t$=6,解得t=$\frac{1}{2}$.
(3)连接$PD$,交$\odot M于点N$,如图②,当$\angle APD= \angle NBQ$时,求$t$的值.
如图④,过点D作DG⊥PQ,交PQ的延长线于点G,连接DQ,
∵∠APD=∠NBQ,∠NBQ=∠NPQ,
∴∠APD=∠NPQ.
∵DG⊥PQ,
∴∠A=∠DGP=90°.
∵PD=PD,
∴Rt△APD≌Rt△GPD(AAS),
∴PG=AP=3t cm,AD=DG=8 cm.
∵PQ=(10 - 5t)cm,
∴QG=3t-(10 - 5t)=(8t - 10)cm.
∵DC²+CQ²=DQ²=DG²+QG²,
∴6²+(4t)²=8²+(8t - 10)²,
∴3t²-10t+8=0,(t - 2)(3t - 4)=0,解得t₁=2(舍去),t₂=$\frac{4}{3}$.即当∠APD=∠NBQ时,t的值为$\frac{4}{3}$.

答案：
(1)$\frac{5}{2}$　相离
(2)①5
②如图③,当⊙M与AD相切时,设切点为F,连接FM并延长交BC于点E,则EF⊥AD,EF⊥BC,则BQ=(8 - 4t)cm,PB=(6 - 3t)cm,
∴PQ=(10 - 5t)cm,
∴PM=FM=$(5-\frac{5}{2}t)$cm.在△BPQ中,ME=$\frac{1}{2}$PB=$(3-\frac{3}{2}t)$cm.
∵EF=FM+ME,
∴5-$\frac{5}{2}t$+3-$\frac{3}{2}t$=6,解得t=$\frac{1}{2}$.
(3)如图④,过点D作DG⊥PQ,交PQ的延长线于点G,连接DQ,
∵∠APD=∠NBQ,∠NBQ=∠NPQ,
∴∠APD=∠NPQ.
∵DG⊥PQ,
∴∠A=∠DGP=90°.
∵PD=PD,
∴Rt△APD≌Rt△GPD(AAS),
∴PG=AP=3t cm,AD=DG=8 cm.
∵PQ=(10 - 5t)cm,
∴QG=3t-(10 - 5t)=(8t - 10)cm.
∵DC²+CQ²=DQ²=DG²+QG²,
∴6²+(4t)²=8²+(8t - 10)²,
∴3t²-10t+8=0,(t - 2)(3t - 4)=0,解得t₁=2(舍去),t₂=$\frac{4}{3}$.即当∠APD=∠NBQ时,t的值为$\frac{4}{3}$.