《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

17. (凉山州中考)如图,等边三角形ABC的边长为4,$\odot C的半径为\sqrt {3}$,P为AB边上一动点,过点P作$\odot C$的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为____3.

答案： 3

18. 如图,O、B两点是线段AC的三等分点,以AB为直径作$\odot O$,点E为$\odot O$上一点,连接CE,交$\odot O$于点D,连接BD、AE,若点D恰为线段CE中点且$BD= 2$,则$△AEC$的周长为$12+6\sqrt{6}$.

答案： $12+6\sqrt{6}$

19. (8分)如图,在$\odot O$中,弦AB与CD相交于点E,$AB= CD$,连接AD、BC.
求证:(1)$\widehat {AD}= \widehat {BC}$;
(2)$AE= CE$.

答案：
(1) $\because AB=CD$，$\therefore \widehat{AB}=\widehat{CD}$，即$\widehat{BC}+\widehat{AC}=\widehat{AD}+\widehat{AC}$，$\therefore \widehat{AD}=\widehat{BC}$.
(2) $\because \widehat{AD}=\widehat{BC}$，$\therefore AD=BC$.又$\because \angle ADE=\angle CBE$，$\angle DAE=\angle BCE$，$\therefore \triangle ADE≌\triangle CBE(ASA)$，$\therefore AE=CE$.

20. (8分)如图,点A、B、C在$\odot O$上,$∠ACB= 125^{\circ }$.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图.
(1)在图①中,作一个度数为$55^{\circ }$的圆周角;
(2)在图②中,作一个度数为$35^{\circ }$的圆周角.

答案：

(1) 如图①，在优弧$\widehat{AB}$上任意取一点 D，连接 DA、DB，则$\angle BDA$即为所求.
(2) 如图②，作圆的直径 BE，连接 CE，则$\angle ECA$即为所求.(作法不唯一，合理即可)