《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

19. (8分)(2024·扬州月考)已知 $ y = (k - 1)x^{k^2 - k - 3} $ 是二次函数.
(1)当 $ x \lt 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,求 $ k $ 的值;
(2)若 $ y $ 有最大值,求该函数的表达式.

答案：
(1)
∵$y=(k - 1)x^{k^2 - k - 3}$是二次函数，
∴$k^2 - k - 3=2$且$k - 1\neq0$，解得$k=2$或$k=-1$。
∵当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴函数图像开口向上，$k - 1＞0$，
∴$k=2$；
(2)
∵$y$有最大值，
∴函数图像开口向下，$k - 1＜0$，
∴$k=-1$，该函数的表达式为$y=-2x^2 - 3$。

20. (8分)(2024·内蒙古中考)在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = x^2 - 2bx - 4 $ 经过点 $ (-1,m) $.
(1)若 $ m = 1 $,则 $ b = $2,通过配方可以将其化成顶点式为$y=(x - 2)^2 - 8$;
(2)已知点 $ (x_1,y_1) $、$ (x_2,y_2) $ 在抛物线上,其中 $ x_1 \lt x_2 $.若 $ m \gt 0 $ 且 $ 2x_1 + 2x_2 \leq 5 $,比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系,并说明理由;
$y_1＞y_2$，理由如下：∵抛物线$y=x^2 - 2bx - 4$经过点$(-1,m)$，∴$m=1 + 2b - 4$。∵$m＞0$，∴$b＞\frac{3}{2}$，二次函数$y=x^2 - 2bx - 4=(x - b)^2 - 4 - b^2$的对称轴为直线$x=b＞\frac{3}{2}$。∵$2x_1 + 2x_2\leq5$，∴$\frac{x_1 + x_2}{2}\leq\frac{5}{4}$，∴$\frac{x_1 + x_2}{2}＜b$。又∵$x_1＜x_2$，∴点$(x_1,y_1)$到对称轴的距离大于$(x_2,y_2)$到对称轴的距离，又∵抛物线的开口向上，∴$y_1＞y_2$；
(3)若 $ b = 0 $,将抛物线向上平移4个单位长度得到的新抛物线与直线 $ y = kx + \frac{1}{4} $ 交于 $ A、B $ 两点,直线与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ E $ 为 $ AC $ 中点,过点 $ E $ 作 $ x $ 轴的垂线,垂足为点 $ F $,连接 $ AF、CF $.求证:$ CF^2 = \frac{1}{2}CE $.
证明：若$b=0$，则$y=x^2 - 4$，将抛物线向上平移4个单位长度得到新抛物线$y=x^2$。∵抛物线$y=x^2$与直线$y=kx + \frac{1}{4}$交于点$A$、$B$，设点$A$的坐标为$(n,n^2)$。将$x=0$代入$y=kx + \frac{1}{4}$得$y=\frac{1}{4}$，∴$C(0,\frac{1}{4})$。∵点$E$为$AC$中点，∴$E(\frac{n}{2},\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})$。∵$EF\perp x$轴于点$F$，∴$F(\frac{n}{2},0)$。$CF^2=(\frac{n}{2}-0)^2+(0 - \frac{1}{4})^2=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{n}{2}-0)^2+(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n^2}{4}+(\frac{n^2}{2}-\frac{1}{8})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n^4}{4}-\frac{n^2}{8}+\frac{1}{64}+\frac{n^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n^4}{4}+\frac{3n^2}{8}+\frac{1}{64}}=\frac{1}{2}(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$，∴$CF^2=\frac{1}{2}CE$。

答案：
(1)$b=2$，通过配方可以将其化成顶点式为$y=(x - 2)^2 - 8$；
(2)$y_1＞y_2$，理由如下：
∵抛物线$y=x^2 - 2bx - 4$经过点$(-1,m)$，
∴$m=1 + 2b - 4$。
∵$m＞0$，
∴$b＞\frac{3}{2}$，二次函数$y=x^2 - 2bx - 4=(x - b)^2 - 4 - b^2$的对称轴为直线$x=b＞\frac{3}{2}$。
∵$2x_1 + 2x_2\leq5$，
∴$\frac{x_1 + x_2}{2}\leq\frac{5}{4}$，
∴$\frac{x_1 + x_2}{2}＜b$。又
∵$x_1＜x_2$，
∴点$(x_1,y_1)$到对称轴的距离大于$(x_2,y_2)$到对称轴的距离，又
∵抛物线的开口向上，
∴$y_1＞y_2$；
(3)证明：若$b=0$，则$y=x^2 - 4$，将抛物线向上平移4个单位长度得到新抛物线$y=x^2$。
∵抛物线$y=x^2$与直线$y=kx + \frac{1}{4}$交于点$A$、$B$，设点$A$的坐标为$(n,n^2)$。将$x=0$代入$y=kx + \frac{1}{4}$得$y=\frac{1}{4}$，
∴$C(0,\frac{1}{4})$。
∵点$E$为$AC$中点，
∴$E(\frac{n}{2},\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})$。
∵$EF\perp x$轴于点$F$，
∴$F(\frac{n}{2},0)$。$CF^2=(\frac{n}{2}-0)^2+(0 - \frac{1}{4})^2=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{n}{2}-0)^2+(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n^2}{4}+(\frac{n^2}{2}-\frac{1}{8})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n^4}{4}-\frac{n^2}{8}+\frac{1}{64}+\frac{n^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n^4}{4}+\frac{3n^2}{8}+\frac{1}{64}}=\frac{1}{2}(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$，
∴$CF^2=\frac{1}{2}CE$。