《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

27. (10 分)定义:已知 $x_{1}$、$x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的两个实数根,若 $x_{1}\lt x_{2}\lt0$,且 $3\lt\frac{x_{1}}{x_{2}}\lt4$,则称这个方程为“限根方程”.比如,一元二次方程 $x^{2}+13x + 30 = 0$ 的两根为 $x_{1}= -10$, $x_{2}= -3$,因为 $-10\lt-3\lt0$, $3\lt\frac{-10}{-3}\lt4$,所以一元二次方程 $x^{2}+13x + 30 = 0$ 为“限根方程”.
请阅读以上材料,回答下列问题:
(1) 判断:一元二次方程 $x^{2}+14x + 33 = 0$______是“限根方程”(填“是”或“不是”);
(2) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(k + 9)x + k^{2}+8 = 0$ 是“限根方程”,且方程的两根 $x_{1}$、$x_{2}$ 满足 $11x_{1}+11x_{2}+x_{1}x_{2}= -121$,求 $k$ 的值;
$\because x_{1}$、$x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}+(k + 9)x + k^{2}+8=0$的两根,$\therefore x_{1}+x_{2}=-k - 9$,$x_{1}x_{2}=k^{2}+8$。$\because 11x_{1}+11x_{2}+x_{1}x_{2}=-121$,$\therefore 11(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=-121$,即$11(-k - 9)+k^{2}+8=-121$,整理得$k^{2}-11k + 30 = 0$,$\therefore (k - 5)(k - 6)=0$,解得$k = 5$或$k = 6$。
①当$k = 5$时,方程为$x^{2}+14x+33=0$,由(1)可知,这个方程是"限根方程",$\therefore k = 5$符合题意;
②当$k = 6$时,方程为$x^{2}+15x+44=0$,解得$x_{1}=-11$,$x_{2}=-4$。$\because -11＜-4＜0$,$\frac {-11}{-4}＜3$,$\therefore$方程$x^{2}+15x+44=0$不是"限根方程",$\therefore k = 6$不符合题意,舍去。
综上,k的值为5。
(3) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(1 - m)x - m = 0$ 是“限根方程”,求 $m$ 的取值范围.
由$x^{2}+(1 - m)x - m=0$,$(x +1)(x - m)=0$,解得$x=-1$或$x=m$。$\because$关于x的一元二次方程$x^{2}+(1 - m)x - m=0$是"限根方程",$\therefore$这个方程有两个不相等的负实数根,$\therefore b^{2}-4ac=(1 - m)^{2}+4m＞0$,$m＜0$且$m≠-1$,解得$m＜0$且$m≠-1$。
①当$-1＜m＜0$时,则$x_{1}=-1$,$x_{2}=m$,$\because$关于x的一元二次方程$x^{2}+(1 - m)x - m=0$是"限根方程",$\therefore 3＜\frac {-1}{m}＜4$,解得$-\frac {1}{3}＜m＜-\frac {1}{4}$,符合题设。
②当$m＜-1$时,则$x_{1}=m$,$x_{2}=-1$,$\because$关于x的一元二次方程$x^{2}+(1 - m)x - m=0$是"限根方程",$\therefore 3＜\frac {m}{-1}＜4$,解得$-4＜m＜-3$,符合题设。
综上,m的取值范围为$-\frac {1}{3}＜m＜-\frac {1}{4}$或$-4＜m＜-3$。

答案：
(1)是
(2)$\because x_{1}$、$x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}+(k + 9)x + k^{2}+8=0$的两根,$\therefore x_{1}+x_{2}=-k - 9$,$x_{1}x_{2}=k^{2}+8$。$\because 11x_{1}+11x_{2}+x_{1}x_{2}=-121$,$\therefore 11(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=-121$,即$11(-k - 9)+k^{2}+8=-121$,整理得$k^{2}-11k + 30 = 0$,$\therefore (k - 5)(k - 6)=0$,解得$k = 5$或$k = 6$。
①当$k = 5$时,方程为$x^{2}+14x+33=0$,由
(1)可知,这个方程是"限根方程",$\therefore k = 5$符合题意;
②当$k = 6$时,方程为$x^{2}+15x+44=0$,解得$x_{1}=-11$,$x_{2}=-4$。$\because -11＜-4＜0$,$\frac {-11}{-4}＜3$,$\therefore$方程$x^{2}+15x+44=0$不是"限根方程",$\therefore k = 6$不符合题意,舍去。
综上,k的值为5。
(3)由$x^{2}+(1 - m)x - m=0$,$(x +1)(x - m)=0$,解得$x=-1$或$x=m$。$\because$关于x的一元二次方程$x^{2}+(1 - m)x - m=0$是"限根方程",$\therefore$这个方程有两个不相等的负实数根,$\therefore b^{2}-4ac=(1 - m)^{2}+4m＞0$,$m＜0$且$m≠-1$,解得$m＜0$且$m≠-1$。
①当$-1＜m＜0$时,则$x_{1}=-1$,$x_{2}=m$,$\because$关于x的一元二次方程$x^{2}+(1 - m)x - m=0$是"限根方程",$\therefore 3＜\frac {-1}{m}＜4$,解得$-\frac {1}{3}＜m＜-\frac {1}{4}$,符合题设。
②当$m＜-1$时,则$x_{1}=m$,$x_{2}=-1$,$\because$关于x的一元二次方程$x^{2}+(1 - m)x - m=0$是"限根方程",$\therefore 3＜\frac {m}{-1}＜4$,解得$-4＜m＜-3$,符合题设。
综上,m的取值范围为$-\frac {1}{3}＜m＜-\frac {1}{4}$或$-4＜m＜-3$。

28. (10 分)在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle B = 90^{\circ}$, $AB = BC = 6$ cm,点 $D$ 从点 $A$ 出发沿边 $AB$ 以 1 cm/s 的速度向点 $B$ 移动,移动过程中始终保持 $DE// BC$, $DF// AC$(点 $E$、$F$ 分别在 $AC$、$BC$ 上).设点 $D$ 移动的时间为 $t$ s.试解答下列问题:
(1) 如图①,当 $t$ 为多少时,四边形 $DFCE$ 的面积等于 $5$ $cm^{2}$?
(2) 如图②,移动过程中,连接 $EF$,以 $EF$ 为直径作 $\odot O$,当 $\odot O$ 与 $\triangle ABC$ 的其中一条边相切时,求出 $t$ 的值.

答案：
(1)$\because$在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$∠B=90^{\circ }$,$AB=BC=6\ \text{cm}$,$\therefore ∠A=∠C=45^{\circ }$,$AC=\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=6\sqrt {2}\ \text{cm}$\。$\because DE// BC$,$DF// AC$,$\therefore$四边形DFCE是平行四边形,$∠ADE=∠B=90^{\circ }$,$\therefore DE=CF$,由题意得$AD=t\ \text{cm}$,点D从点A出发运动到点B所需时间为$\frac {AB}{1}=6\ \text{s}$,$\therefore BD=AB - AD=(6 - t)\ \text{cm}$,$0＜t＜6$。$\because ∠ADE=90^{\circ }$,$∠A=45^{\circ }$,$\therefore \triangle ADE$是等腰直角三角形,$\therefore DE=AD=t\ \text{cm}$,$\therefore CF=t\ \text{cm}$。$\because$四边形DFCE的面积等于$5\ \text{cm}^{2}$,$\therefore CF\cdot BD=5$,即$t(6 - t)=5$,解得$t = 1$或$t = 5$,均符合题意。故当t为1或5时,四边形DFCE的面积等于$5\ \text{cm}^{2}$。
(2)由
(1)得$\triangle ADE$是等腰直角三角形,$AD=DE=CF=t\ \text{cm}$,$AC=6\sqrt {2}\ \text{cm}$,且$0＜t＜6$,$\therefore BD=AB - AD=(6 - t)\ \text{cm}$,$BF=BC - CF=(6 - t)\ \text{cm}$,$AE=\sqrt {AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt {2}t\ \text{cm}$,$\therefore CE=AC - AE=(6\sqrt {2}-\sqrt {2}t)\ \text{cm}$。
①当$\odot O$与AB边相切时,如图①,设$\odot O$与AB相切于点M,$\odot O$与BC的另一个交点为点N,连接OM、EN,$\therefore OM⊥AB$。$\because ∠ADE=∠B=90^{\circ }$,$\therefore DE// OM// BC$,$\therefore \frac {DM}{BM}=\frac {OE}{OF}$。$\because EF$是$\odot O$的直径,$\therefore$点O是EF的中点,$EF=2OM$,$\therefore DM=BM$,$\therefore OM$是直角梯形BDEF的中位线,$\therefore DE+BF=2OM$,$\therefore EF=DE+BF=t+6 - t=6(\text{cm})$。由圆周角定理得$∠ENF=90^{\circ }$,即$EN⊥FN$,$\therefore$四边形BDEN是矩形,$\therefore BN=DE=t\ \text{cm}$,$EN=BD=(6 - t)\ \text{cm}$,$\therefore FN=BF - BN=(6 - 2t)\ \text{cm}$,在$\text{Rt}\triangle ENF$中,$EN^{2}+FN^{2}=EF^{2}$,即$(6 - t)^{2}+(6 - 2t)^{2}=6^{2}$,解得$t=\frac {6}{5}$或$t = 6$(此时DE与BC重合,不符合题意,舍去);
②如图②,当$\odot O$与BC边相切时,则点F为切点,$\therefore EF⊥BC$\。$\because ∠B=90^{\circ }$,即$AB⊥BC$,$\therefore EF// AB$,$\therefore \triangle CEF\backsim \triangle CAB$,$\therefore \frac {CE}{CA}=\frac {CF}{CB}$,即$\frac {6\sqrt {2}-\sqrt {2}t}{6\sqrt {2}}=\frac {t}{6}$,解得$t = 3$,符合题意;
③如图③,当$\odot O$与AC边相切时,则点E为切点,$\therefore EF⊥AC$,即$∠CEF=90^{\circ }$。在$\triangle CEF$和$\triangle CBA$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CEF=∠B=90^{\circ },\\ ∠C=∠C,\end{array}\right.$,$\therefore \triangle CEF\backsim \triangle CBA$,$\therefore \frac {CE}{CB}=\frac {CF}{CA}$,即$\frac {6\sqrt {2}-\sqrt {2}t}{6}=\frac {t}{6\sqrt {2}}$,解得$t = 4$,符合题意。
综上,t的值为$\frac {6}{5}$或3或4。