《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

8. (2024·常州中考)对于平面内有公共点的两个图形,若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离$d$后与另一个图形重合,则称这两个图形存在“平移关联”,其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”。
(1)如图①,$B$、$C$、$D是线段AE$的四等分点。若$AE = 4$,则在图中,线段$AC$的“平移关联图形”是______,$d = $______；(写出符合条件的一种情况即可)
(2)如图②,等边三角形$ABC$的边长是 2。用直尺和圆规作出$\triangle ABC$的一个“平移关联图形”,且满足$d = 2$；(保留作图痕迹,不要求写作法)
(3)如图③,在平面直角坐标系$xOy$中,点$D$、$E$、$G的坐标分别是(-1,0)$、$(1,0)$、$(0,4)$,以点$G$为圆心,$r$为半径画圆。若对$\odot G上的任意点F$,连接$DE$、$EF$、$FD$所形成的图形都存在“平移关联图形”,且满足$d\geq3$,直接写出$r$的取值范围。
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答案：

(1)$CE$ 2(答案不唯一) 【解析】
∵$B$、$C$、$D$是线段$AE$的四等分点，$AE=4$，
∴$AB=BC=CD=DE=1$，
∴$AC=BD=CE=2$，
∴线段$AC$的“平移关联图形”可以是$CE$，此时$d=2$。
(2)如图①所示，$\triangle EBD$即为所求。(合理即可)

(3)$0＜r\leq\sqrt{17}-3$或$r\geq3+\sqrt{17}$ 【解析】
∵点$D$、$E$、$G$的坐标分别是$(-1,0)$、$(1,0)$、$(0,4)$，
∴$OD=OE=1$，$OG=4$，
∴$DE=2$，$DG=EG=\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}$，
∵对$\odot G$上的任意点$F$，连接$DE$、$EF$、$FD$所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足$d\geq3$，且$DE=2＜3$，
∴$DF\geq3$，$EF\geq3$。如图②，当$DE$在圆外时，
∵$DF\geq DG-GF$，$EF\geq EG-GF$，
∴$\sqrt{17}-GF\geq3$，
∴$GF\leq\sqrt{17}-3$，
∴$0＜r\leq\sqrt{17}-3$。如图③，当$DE$在圆内时，则$GF-\sqrt{17}\geq3$，
∴$GF\geq3+\sqrt{17}$，
∴$r\geq3+\sqrt{17}$。综上，$0＜r\leq\sqrt{17}-3$或$r\geq3+\sqrt{17}$。