《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

7. 如图,将矩形 $ABCD$ 绕着点 $A$ 逆时针旋转得到矩形 $AEFG$,点 $B$ 的对应点 $E$ 落在边 $CD$ 上,且 $DE = EF$,若 $AD = 3 \sqrt { 3 }$,则 $\overgroup { C F }$ 的长为 ( )

A.$\frac { 9 } { 4 } \pi$
B.$\frac { 3 } { 4 } \pi$
C.$\frac { \sqrt { 6 } } { 4 } \pi$
D.$\pi$

答案：
A 【解析】如图,连接 AC、AF,由旋转的性质可知,$BC = EF,AB = AE.\because DE = EF,\therefore DE = BC = AD$.在$Rt△ADE$中,$\because DE = AD,\therefore ∠DAE = 45^{\circ },AE = \sqrt{AD^{2} + DE^{2}} = 3\sqrt{6},\therefore ∠EAB = 90^{\circ } - 45^{\circ } = 45^{\circ }$,即旋转角为$45^{\circ },\therefore ∠FAC = 45^{\circ }$.在$Rt△ABC$中,$AC = \sqrt{(3\sqrt{6})^{2} + (3\sqrt{3})^{2}} = 9,\therefore \widehat{CF}$的长为$\frac{45π\cdot 9}{180} = \frac{9π}{4}$,故选 A.

8. (2024·惠州模拟)如图,在平面直角坐标系 $x O y$ 中,直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $A ( 3,0 )$,与 $y$ 轴交于点 $B$,$O B = 2 O A$,点 $M$ 在以点 $C ( - 1,0 )$ 为圆心,$3$ 为半径的圆上,点 $N$ 在直线 $AB$ 上,若 $MN$ 是 $\odot O$ 的切线,则 $M N ^ { 2 }$ 的最小值为 ( )

A.$\frac { 19 } { 4 }$
B.$\frac { 25 } { 4 }$
C.$\frac { 19 } { 5 }$
D.$\frac { 5 } { 2 }$

答案：
C 【解析】连接 CM、CN、BC,如图,$\because A(3,0),\therefore OA = 3.\because OB = 2OA,\therefore OB = 6,\therefore AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{3^{2} + 6^{2}} = 3\sqrt{5}.\because MN$是$\odot C$的切线,$\therefore ∠CMN = 90^{\circ },\therefore MN^{2} = CN^{2} - CM^{2}.\because CM = 3$，
∴当 CN 最小时 MN 最小,即$CN⊥AB$时 CN 最小.$\because C(-1,0)$、$A(3,0),\therefore AC = 3 - (-1) = 4$.又$\frac{1}{2}AC\cdot OB = \frac{1}{2}AB\cdot CN,\therefore \frac{1}{2}×4×6 = \frac{1}{2}×3\sqrt{5}×CN,\therefore CN = \frac{8\sqrt{5}}{5}$,此时$MN^{2} = CN^{2} - CM^{2} = (\frac{8\sqrt{5}}{5})^{2} - 3^{2} = \frac{19}{5}$,故选 C.

9. 已知点 $A ( 3,4 )$,若以点 $A$ 为圆心,$3$ 个单位长度为半径作圆,则 $\odot A$ 与 $x$ 轴相离,$\odot A$ 与 $y$ 轴相切.(填“相交”“相切”或“相离”)

答案： 相离 相切 【解析$】\because A(3,4),$
∴点 A 到 x 轴的距离为4 ＞ r,点 A 到 y 轴的距离为$3 = r,\therefore \odot A$与 x轴相离$,\odot A$与 y 轴相切.

10. (眉山中考)如图是不倒翁的主视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 $PA$、$PB$ 分别相切于点 $A$、$B$,不倒翁的鼻尖正好是圆心 $O$,若 $\angle O A B = 28 ^ { \circ }$,则 $\angle APB$ 的度数为______$56^{\circ }$.

答案： $56^{\circ }$【解析】
∵PA、PB 分别与$\odot O$相切于点 A、B,$\therefore OA⊥PA,PA = PB.\because ∠OAB = 28^{\circ },\therefore ∠PAB = 90^{\circ } - 28^{\circ } = 62^{\circ },\therefore ∠PBA = ∠PAB = 62^{\circ },\therefore ∠APB = 180^{\circ } - 62^{\circ } - 62^{\circ } = 56^{\circ }.$

11. (2024·滨州模拟)如图,圆内接四边形 $ABCD$ 中,$\angle B C D = 105 ^ { \circ }$,连接 $OB$、$OC$、$OD$、$BD$,$\angle B O C = 2 \angle C O D$.则 $\angle BDC$ 的度数是______50°.

答案： $50^{\circ }$【解析】由题意知,$∠BAD + ∠BCD = 180^{\circ },∠BCD = 105^{\circ },\therefore ∠BAD = 75^{\circ }.\because \widehat{BD} = \widehat{BD},\therefore ∠BOD = 2∠BAD = 150^{\circ }.\because ∠BOC = 2∠COD,∠BOC + ∠COD = ∠BOD,\therefore ∠COD = 50^{\circ },∠BOC = 100^{\circ }.\because \widehat{CB} = \widehat{CB},\therefore ∠BDC = \frac{1}{2}∠COB = 50^{\circ }.$

12. 已知一个直角三角形的两条边长分别为 $3 \mathrm { cm }$ 和 $4 \mathrm { cm }$,则这个直角三角形的内切圆的半径为1或$\frac{\sqrt{7} - 1}{2}$$\mathrm { cm }$.

答案： 1或$\frac{\sqrt{7} - 1}{2}$【解析】斜边为$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5(cm)$时,此直角三角形的内切圆半径为 1 cm;斜边为 4 cm 时,则此直角三角形的内切圆半径为$\frac{\sqrt{7} - 1}{2}cm$.故答案为 1 或$\frac{\sqrt{7} - 1}{2}.$

13. 已知四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,$\angle B O D = 110 ^ { \circ }$,则 $\angle B C D$ 的度数是______.

答案：
$125^{\circ }$或$55^{\circ }$【解析】如图①,由圆周角定理得$∠A = \frac{1}{2}∠BOD = \frac{1}{2}×110^{\circ } = 55^{\circ }$,
∵四边形 ABCD 为$\odot O$的内接四边形,$\therefore ∠BCD = 180^{\circ } - ∠A = 180^{\circ } - 55^{\circ } = 125^{\circ }$;如图②,由圆周角定理得,$∠BCD = \frac{1}{2}∠BOD = \frac{1}{2}×110^{\circ } = 55^{\circ }$.故答案为$125^{\circ }$或$55^{\circ }.$

14. (2024·济南模拟)如图①,我国是世界上最早制造使用水车的国家.如图②是水车舀水灌溉示意图,水车轮的辐条(圆的半径)$OA$ 长约为 $6$ 米,辐条尽头装有刮板,刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗,当水流冲动水车轮刮板时,驱使水车徐徐转动,水斗依次舀满河水在点 $A$ 处离开水面,逆时针旋转 $150 ^ { \circ }$ 上升至轮子上方 $B$ 处,斗口开始翻转向下,将水倾入木槽,由木槽导入水渠,进而灌溉,那么水斗从 $A$ 处(舀水)转动到 $B$ 处(倒水)所经过的路程是______米.(结果保留 $\pi$)

5π

答案： 5π 【解析】由题意,得$\frac{150×π×6}{180} = 5π$(米),
∴水斗从 A 处(舀水)转动到 B 处(倒水)所经过的路程是 5π 米.