《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

24. (10 分)已知 $\odot O$ 的两条弦 $AB$、$CD$ 相交于点 $M$,且 $A B = C D$.
(1)如图①,连接 $AD$.求证:$A M = D M$.
(2)如图②,若 $A B \perp C D$,在 $\overgroup { B D }$ 上取一点 $E$,使 $\overgroup { B E } = \overgroup { B C }$,$A E$ 交 $C D$ 于点 $F$,连接 $AD$、$DE$.
①判断 $\angle E$ 与 $\angle D F E$ 是否相等,并说明理由;
②若 $D E = 7$,$A M + M F = 17$,求 $\triangle A D F$ 的面积.

答案：
(1)$\because AB = CD,\therefore \widehat{AB} = \widehat{CD}$,即$\widehat{AC} + \widehat{BC} = \widehat{BC} + \widehat{BD},\therefore \widehat{AC} = \widehat{BD},\therefore ∠A = ∠D,\therefore AM = DM.$
(2)①$∠E$与$∠DFE$相等.理由如下:连接 AC,$\because \widehat{BE} = \widehat{BC},\therefore ∠CAB = ∠EAB.\because AB⊥CD,\therefore \widehat{AC} = \widehat{AF},\therefore ∠ACF = ∠AFC.\because ∠ACF = ∠E,∠AFC = ∠DFE,\therefore ∠E = ∠DFE.$②$\because ∠DFE = ∠E,\therefore DF = DE = 7.\because AM = DM,\therefore AM = MF + 7.\because AM + MF = 17,\therefore MF + 7 + MF = 17$,解得$MF = 5,\therefore AM = 12,\therefore S_{△ADF} = \frac{1}{2}×7×12 = 42.$

25. (10 分)(泰州中考)如图①,矩形 $A B C D$ 与以 $E F$ 为直径的半圆 $O$ 在直线 $l$ 的上方,线段 $AB$ 与点 $E$、$F$ 都在直线 $l$ 上,且 $A B = 7$,$E F = 10$,$B C ＞ 5$.点 $B$ 以 $1$ 个单位/秒的速度从点 $E$ 处出发,沿射线 $E F$ 方向运动,矩形 $A B C D$ 随之运动,运动时间为 $t$ 秒.
(1)如图②,当 $t = 2.5$ 时,求半圆 $O$ 在矩形 $A B C D$ 内的弧的长度;
(2)在点 $B$ 运动的过程中,当 $AD$、$BC$ 都与半圆 $O$ 相交时,设这两个交点为 $G$、$H$.连接 $OG$、$OH$,若 $\angle G O H$ 为直角,求此时 $t$ 的值.

答案：

(1)设 BC 与$\odot O$交于点 M,如图①,当t = 2.5时$,BE = 2.5.\because EF = 10,\therefore OE = \frac{1}{2}EF = 5,\therefore OB = 2.5,\therefore EB = OB.$在矩形 ABCD 中$,∠ABC = 90^{\circ },$易证$△MEB\cong △MOB,\therefore ME = MO.$又$\because MO = EO,\therefore ME = EO = MO，$
∴△MOE是等边三角形$,\therefore ∠EOM = 60^{\circ },\therefore l\widehat{ME} = \frac{60π×5}{180} = \frac{5π}{3},$即半圆 O 在矩形 ABCD 内的弧的长度为$\frac{5π}{3}.$
(2)连接OG,OH
∵∠GOH=90°,
∴∠AOG+∠BOH=90°
∵∠AGO+∠AOG=90°,
∴∠AGO=∠BOH
∴△AGO≌△BOH(AAS)
∴OB=AG=t-5
∵AB=7,
∴AE=t-7
∴AO=12-t
$∵AG^{2}+AO^{2}=OG^{2}$
解得t=8或9