《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

1.(2024·苏州月考)下列方程一定是关于x的一元二次方程的是(D)
A.$3x^{2}-\frac {2}{x}-5= 0$
B.$2x^{2}+xy+y^{2}= 0$
C.$x(x+2)= (x-1)(x+3)+3$
D.$5x^{2}= 0$

答案： D 【解析】A.$3x^{2}-\frac {2}{x}-5=0$含有分式,故不是一元二次方程,不符合题意;B.$2x^{2}+xy+y^{2}=0$含有两个未知数,故不是一元二次方程,不符合题意;C.$x(x+2)=(x-1)(x+3)$化简得$0=0$,不是一元二次方程,不符合题意;D.$5x^{2}=0$符合一元二次方程定义,符合题意.故选 D.

2.(鹤岗中考)已知$2+\sqrt {3}$是关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+m= 0$的一个实数根,则实数m的值是(B)
A.0
B.1
C.-3
D.-1

答案： B 【解析】解法一:根据题意,得$(2+\sqrt {3})^{2}-4×(2+\sqrt {3})+m=0$,解得$m=1$.解法二:设另一个根为x,根据一元二次方程根与系数的关系可知,$x+(2+\sqrt {3})=4$,解得$x=2-\sqrt {3}$,则$m=(2+\sqrt {3})×(2-\sqrt {3})=1.$

3. 用配方法解一元二次方程$-3x^{2}+12x-2= 0$时,将它化为$(x+a)^{2}= b$的形式,则$a+b$的值为(D)
A.$\frac {14}{3}$
B.$\frac {10}{3}$
C.$\frac {16}{3}$
D.$\frac {4}{3}$

答案： D 【解析】$-3x^{2}+12x-2=0$,系数化为 1,得$x^{2}-4x+\frac {2}{3}=0$,移项,得$x^{2}-4x=-\frac {2}{3}$,配方,得$x^{2}-4x+4=-\frac {2}{3}+4$,即$(x-2)^{2}=\frac {10}{3},\therefore a=-2,b=\frac {10}{3},\therefore a+b=-2+\frac {10}{3}=\frac {4}{3}$.故选 D.

4.(宜宾中考)已知m、n是一元二次方程$x^{2}+2x-5= 0$的两个根,则$m^{2}+mn+2m$的值为(A)
A.0
B.-10
C.3
D.10

答案： A 【解析】
∵m、n是一元二次方程$x^{2}+2x-5=0$的两个根,$\therefore mn=-5$
∵m 是$x^{2}+2x-5=0$的一个根,$\therefore m^{2}+2m-5=0,\therefore m^{2}+2m=5,\therefore m^{2}+mn+2m=m^{2}+2m+mn=5-5=0$.故选 A.

5. 新题型 新定义(2024·常州期中)如果一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$满足$a+b+c= 0$,那么我们称这个方程为“快乐”方程.已知$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$是“快乐”方程,且$a= c$,则下列结论正确的是(B)
A.方程有两个不相等的实数根
B.方程有两个相等的实数根
C.方程没有实数根
D.无法确定方程根的情况

答案： B 【解析】
∵$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$是“快乐”方程，$\therefore a+b+c=0,\therefore b=-a-c.\because a=c,\therefore b=-2a,\therefore b^{2}-4ac=(-2a)^{2}-4a\cdot a=0$,
∴方程有两个相等的实数根,故选 B.

6. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(ac≠0)$有一根为x= 2025,则关于y的一元二次方程$cy^{2}+by+a= 0(ac≠0)$必有一根为(C)
A.2025
B.-2025
C.$\frac {1}{2025}$
D.$-\frac {1}{2025}$

答案： C 【解析】把$x=2025$代入一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$,得$2025^{2}a+2025b+c=0$,两边都除以$2025^{2}$,得$a+\frac {1}{2025}b+\frac {1}{2025^{2}}c=0,\therefore \frac {1}{2025^{2}}c+\frac {1}{2025}b+a=0,\therefore \frac {1}{2025}$是一元二次方程$cy^{2}+by+a=0(ac≠0)$的一根,故选 C.

7.(2024·东营模拟)如果关于x的一元二次方程$(m-5)x^{2}+4x+m^{2}-25= 0$有一个解是0,那么m的值是-5.

答案： -5 【解析】
∵关于x的一元二次方程$(m-5)x^{2}+4x+m^{2}-25=0$有一个解为0,将$x=0$代入原方程中得$m^{2}-25=0,\therefore m=\pm 5.$当$m=5$时,$m-5=0,\therefore m=5$不符合题意，$\therefore m=-5.$

8. 新趋势 开放性试题 写一个一元二次方程,使它有两个相等的实数根：$x^{2}+2x+1=0$.(写出一个即可)

答案： $x^{2}+2x+1=0$(答案不唯一) 【解析】
∵一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个相等的实数根，$\therefore b^{2}-4ac=0$,
∴符合题意的一元二次方程可以为$x^{2}+2x+1=0$.(答案不唯一)

9. 一元二次方程$x^{2}= 2025x$的解是$x_{1}=0,x_{2}=2025$.

答案： $x_{1}=0,x_{2}=2025$【解析】$\because x^{2}-2025x=0$,因式分解得$x(x-2025)=0,\therefore x=0$或$x-2025=0,\therefore x_{1}=0,x_{2}=2025.$

10. 新趋势 代数推理(娄底中考)已知$t^{2}-3t+1= 0$,则$t+\frac {1}{t}=$3.

答案： 3 【解析】解方程$t^{2}-3t+1=0$,得$t=\frac {3\pm \sqrt {5}}{2}$.当$t=\frac {3-\sqrt {5}}{2}$时,$\frac {1}{t}=\frac {3+\sqrt {5}}{2}$,则$t+\frac {1}{t}=\frac {3-\sqrt {5}}{2}+\frac {3+\sqrt {5}}{2}=3$.当$t=\frac {3+\sqrt {5}}{2}$时,$\frac {1}{t}=\frac {3-\sqrt {5}}{2}$,则$t+\frac {1}{t}=\frac {3+\sqrt {5}}{2}+\frac {3-\sqrt {5}}{2}=3$.综上，$t+\frac {1}{t}=3.$一题多解本题还可以用以下两种方法解决:①$\because t^{2}-3t+1=0,\therefore t^{2}+1=3t$,则$t+\frac {1}{t}=\frac {t^{2}}{t}+\frac {1}{t}=\frac {t^{2}+1}{t}=\frac {3t}{t}=3$.②$\because t^{2}-3t+1=0,\therefore t≠0$,等式两边同时除以t,得$t-3+\frac {1}{t}=0,\therefore t+\frac {1}{t}=3.$

11. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$的两个实数根分别为3和5,则关于y的方程$(y^{2}+4)^{2}+b(y^{2}+4)+c= 0$的解是____$y_{1}=-1,y_{2}=1$.

答案： $y_{1}=-1,y_{2}=1$【解析】
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$的两个实数根分别为3和5,
∴关于$(y^{2}+4)$的一元二次方程$(y^{2}+4)^{2}+b(y^{2}+4)+c=0$的两个实数根分别为3和5,即$y^{2}+4=3$或$y^{2}+4=5$.
∵关于y的一元二次方程$y^{2}+4=3$没有实数根,关于y的一元二次方程$y^{2}+4=5$的实数根为-1和1,
∴关于y的方程$(y^{2}+4)^{2}+b(y^{2}+4)+c=0$的解是$y_{1}=-1,y_{2}=1.$