《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23. (15分)(2024·北京中考)某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.教师评委打分:
86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
b.学生评委打分的频数分布直方图如下(数据分6组:第1组82≤x＜85,第2组85≤x＜88,第3组88≤x＜91,第4组91≤x＜94,第5组94≤x＜97,第6组97≤x≤100):

c.评委打分的平均数、中位数、众数如下:
| |平均数|中位数|众数|
|教师评委|91|91|m|
|学生评委|90.8|n|93|
根据以上信息,回答下列问题:
①m的值为91,n的值位于学生评委打分数据分组的第4组;
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分,记其余8名教师评委打分的平均数为$\overline{x}$,则$\overline{x}$＜91(填“＞”“＜”或“=”).
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制).对每位选手,计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前,若平均数相同,则方差较小的选手排序靠前,5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下:
| |评委1|评委2|评委3|评委4|评委5|
|甲|93|90|92|93|92|
|乙|91|92|92|92|92|
|丙|90|94|90|94|k|
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中,则这三位选手中排序最靠前的是谁? 表中k(k为整数)的值是多少?
这三位选手中排序最靠前的是甲，表中k的值是92.

答案：
(1)①91 4 ②＜
(2)$\overline{x}_{甲}=\frac{90+92+92+93+93}{5}=92$，$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}×[(90-92)^{2}+(92-92)^{2}+(92-92)^{2}+(93-92)^{2}+(93-92)^{2}]=1.2$，$\overline{x}_{乙}=\frac{91+92+92+92+92}{5}=91.8$，$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}×[(91-91.8)^{2}+(92-91.8)^{2}+(92-91.8)^{2}+(92-91.8)^{2}+(92-91.8)^{2}]=0.16$。
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，依题意，当$\overline{x}_{甲}\geq\overline{x}_{丙}\geq\overline{x}_{乙}$，则$91.8\leq\frac{1}{5}×(90+94+90+94+k)\leq92$，解得91≤k≤92，当k=91时，$\overline{x}_{丙}=\overline{x}_{乙}=91.8$，此时$s^{2}_{丙}=\frac{1}{5}×[2×(90-91.8)^{2}+2×(94-91.8)^{2}+(91-91.8)^{2}]=3.36$，
∵$s^{2}_{丙}＞s^{2}_{乙}$，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不符合题意；当k=92时，$\overline{x}_{丙}=\overline{x}_{甲}=92$，此时$s^{2}_{丙}=\frac{1}{5}×[2×(90-92)^{2}+2×(94-92)^{2}+(92-92)^{2}]=3.2$，
∵$s^{2}_{丙}＞s^{2}_{甲}$，
∴丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴这三位选手中排序最靠前的是甲，表中k的值是92.