《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

7.(资阳中考)已知A、B两点的坐标分别为$(3,-4)$、$(0,-2)$,线段AB上有一动点$M(m,n)$,过点M作x轴的平行线交抛物线$y= a(x-1)^{2}+2于P(x_{1},y_{1})$、$Q(x_{2},y_{2})$两点.若$x_{1}＜m≤x_{2}$,则a的取值范围是 (C)
A.$-4≤a＜-\frac {3}{2}$
B.$-4≤a≤-\frac {3}{2}$
C.$-\frac {3}{2}≤a＜0$
D.$-\frac {3}{2}＜a＜0$

答案： C

8.(湖州中考)已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$与x轴的交点为$A(1,0)和B(3,0)$,点$P_{1}(x_{1},y_{1})$、$P_{2}(x_{2},y_{2})$是抛物线上不同于A、B的两个点,记$△P_{1}AB的面积为S_{1}$,$△P_{2}AB的面积为S_{2}$.有下列结论:①当$x_{1}＞x_{2}+2$时,$S_{1}＞S_{2}$;②当$x_{1}＜2-x_{2}$时,$S_{1}＜S_{2}$;③当$|x_{1}-2|＞|x_{2}-2|＞1$时,$S_{1}＞S_{2}$;④当$|x_{1}-2|＞|x_{2}+2|＞1$时,$S_{1}＜S_{2}$.其中正确结论的个数是 (A)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： A

9.(2024·常州模拟)若抛物线$y= x^{2}-3x+ax+2$的对称轴是y轴,则a的值是3.

答案： 3

10.已知一个二次函数的图像形状和开口方向与抛物线$y= 3x^{2}$相同,且顶点坐标为$(2,3)$,则这个二次函数的表达式为$y = 3(x - 2)^{2} + 3$.

答案： $y = 3(x - 2)^{2} + 3$

11.(徐州中考)若二次函数$y= x^{2}-2x-3$的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于m,则m的值为4.

答案： 4

12.(遂宁中考)抛物线$y= ax^{2}+bx+c$(a、b、c为常数)的部分图像如图所示,设$m= a-b+c$,则m的取值范围是____-4 ＜ m ＜ 0.

答案： -4 ＜ m ＜ 0

13.(2024·达州模拟)某校计划举办科技节颁奖典礼,想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图,要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”(分别记作点A、B、C、D)四个大字,要求$BC// AD$,最高点的五角星(点E)到BC的距离为0.5米,$BC= 2$米,$AD= 4$米,则点C到AD的距离为____1.5米.

 

答案： 1.5

14.(安徽中考)设抛物线$y= x^{2}+(a+1)x+a$,其中a为实数.
(1)若抛物线经过点$(-1,m)$,则$m= $0;
(2)将抛物线$y= x^{2}+(a+1)x+a$向上平移2个单位长度,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是2.

答案： 1. （1）
已知抛物线$y = x^{2}+(a + 1)x + a$经过点$(-1,m)$，将$x=-1$代入抛物线方程：
把$x = - 1$代入$y=x^{2}+(a + 1)x + a$，根据代入法$y=(-1)^{2}+(a + 1)×(-1)+a$。
计算$y = 1-(a + 1)+a$，去括号得$y=1 - a-1 + a$，所以$m = 0$。
2. （2）
首先，对于抛物线$y=Ax^{2}+Bx + C(A\neq0)$，其顶点坐标公式为$(-\frac{B}{2A},\frac{4AC - B^{2}}{4A})$，对于抛物线$y=x^{2}+(a + 1)x + a$，其中$A = 1$，$B=a + 1$，$C=a$。
则$y=x^{2}+(a + 1)x + a=(x+\frac{a + 1}{2})^{2}+a-\frac{(a + 1)^{2}}{4}$（配方法：$y=Ax^{2}+Bx + C=A(x+\frac{B}{2A})^{2}+\frac{4AC - B^{2}}{4A}$）。
向上平移$2$个单位长度后，抛物线解析式为$y=(x+\frac{a + 1}{2})^{2}+a-\frac{(a + 1)^{2}}{4}+2$。
其顶点纵坐标为$y=a-\frac{(a + 1)^{2}}{4}+2$。
化简$y=a-\frac{a^{2}+2a + 1}{4}+2$：
通分$y=\frac{4a-(a^{2}+2a + 1)+8}{4}$。
去括号$y=\frac{4a - a^{2}-2a - 1 + 8}{4}$。
合并同类项$y=\frac{-a^{2}+2a + 7}{4}$。
对于二次函数$y = - \frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{2}a+\frac{7}{4}$（$y=\frac{-a^{2}+2a + 7}{4}=-\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{2}a+\frac{7}{4}$，其中$A=-\frac{1}{4}$，$B = \frac{1}{2}$，$C=\frac{7}{4}$），根据二次函数顶点纵坐标公式$y=\frac{4AC - B^{2}}{4A}$（也可根据顶点坐标公式$a=-\frac{B}{2A}$，这里求最值，对于$y = Ax^{2}+Bx + C(A\neq0)$，当$A\lt0$时，$y_{max}=\frac{4AC - B^{2}}{4A}$）。
这里$A=-\frac{1}{4}$，$B=\frac{1}{2}$，$C=\frac{7}{4}$，则$y_{max}=\frac{4×(-\frac{1}{4})×\frac{7}{4}-(\frac{1}{2})^{2}}{4×(-\frac{1}{4})}$。
先计算分子：$4×(-\frac{1}{4})×\frac{7}{4}-(\frac{1}{2})^{2}=-\frac{7}{4}-\frac{1}{4}=-2$。
再计算$\frac{-2}{-1}=2$；也可对$y = -\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{2}a+\frac{7}{4}$进行配方：
$y=-\frac{1}{4}(a^{2}-2a)+ \frac{7}{4}=-\frac{1}{4}(a^{2}-2a + 1 - 1)+\frac{7}{4}$。
$y=-\frac{1}{4}[(a - 1)^{2}-1]+\frac{7}{4}=-\frac{1}{4}(a - 1)^{2}+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$。
$y=-\frac{1}{4}(a - 1)^{2}+2$，因为$-\frac{1}{4}(a - 1)^{2}\leq0$，当$a = 1$时，$y$有最大值$2$。
故答案为：（1）$0$；（2）$2$。

15.坐标平面上有两个二次函数的图形,其顶点P、Q皆在x轴上,且有一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点,各点位置如图所示,若$AB= 10$,$BC= 5$,$CD= 6$,则PQ的长度为8.

答案： 8

16.抛物线$y= ax^{2}+bx+3$与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且$OA:OB= 1:3$,$OB= OC$,那么a的值是1或-1.

答案： 1或-1