《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

20. (4分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2\sqrt {2}mx+m^{2}+m-1+k= 0$(m、k为常数)有两个相等的实数根,求证:$k≥\frac {3}{4}$.

答案： $\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2\sqrt{2}mx+m^{2}+m - 1 + k = 0$（$m$、$k$为常数）有两个相等的实数根，$\therefore(-2\sqrt{2}m)^{2}-4(m^{2}+m - 1 + k)=0$，$\therefore m^{2}-m + 1 - k = 0$。$\because m^{2}-m + 1 - k = 0$有解，$\therefore(-1)^{2}-4(1 - k)\geq0$，$\therefore k\geq\frac{3}{4}$。

21. (8分)“通过等价变换,化复杂为简单,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式.例如:解方程$x-\sqrt {x}= 0$,就可利用该思维方式,设$\sqrt {x}= y$,将原方程转化为$y^{2}-y= 0$这个熟悉的关于y的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下列问题:
(1)填空:若$2(x^{2}+y^{2})^{2}+(x^{2}+y^{2})= 0$,则$x^{2}+y^{2}$的值为______;
(2)直接写出方程$x^{2}-3|x|+2= 0$的根;
(3)解方程:$x^{2}-x+2\sqrt {x^{2}-x}-8= 0$.
(1)0
(2)$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$，$x_{3}=-2$，$x_{4}=2$
(3)设$\sqrt{x^{2}-x}=t$，原方程转化为$t^{2}+2t - 8 = 0$，解得$t_{1}=-4$，$t_{2}=2$，当$t = - 4$时，$\sqrt{x^{2}-x}=-4$，不符合题意，舍去；当$t = 2$时，$\sqrt{x^{2}-x}=2$，则$x^{2}-x = 4$，解得$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，经检验，符合题意，原方程的解为$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$。

答案：
(1)0 【解析】设$x^{2}+y^{2}=t$，原方程转化为$2t^{2}+t = 0$，解得$t_{1}=0$，$t_{2}=-\frac{1}{2}$。当$t = 0$时，$x^{2}+y^{2}=0$；当$t=-\frac{1}{2}$时，$x^{2}+y^{2}=-\frac{1}{2}$（舍去），所以$x^{2}+y^{2}$的值为0。故答案为0。
(2)$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$，$x_{3}=-2$，$x_{4}=2$ 【解析】设$\vert x\vert=t$，原方程转化为$t^{2}-3t + 2 = 0$，解得$t_{1}=1$，$t_{2}=2$，当$t = 1$时，则$\vert x\vert=1$，解得$x=\pm1$；当$t = 2$时，则$\vert x\vert=2$，解得$x=\pm2$，所以原方程的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$，$x_{3}=-2$，$x_{4}=2$。
(3)设$\sqrt{x^{2}-x}=t$，原方程转化为$t^{2}+2t - 8 = 0$，解得$t_{1}=-4$，$t_{2}=2$，当$t = - 4$时，$\sqrt{x^{2}-x}=-4$，不符合题意，舍去；当$t = 2$时，$\sqrt{x^{2}-x}=2$，则$x^{2}-x = 4$，解得$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，经检验，符合题意，原方程的解为$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$。

22. (8分)已知关于x的方程$(k+1)x^{2}+(3k-1)x+2k-2= 0$.
(1)求证:无论k取何值,此方程总有实数根;
(2)若此方程有两个整数根,求正整数k的值;
(3)若一元二次方程$(k+1)x^{2}+(3k-1)x+2k-2= 0满足|x_{1}-x_{2}|= 3$,求k的值.

答案：
(1)当$k + 1 = 0$，即$k=-1$时，原方程为$-4x - 4 = 0$，解得$x=-1$；当$k + 1\neq0$，即$k\neq - 1$时，$b^{2}-4ac=(3k - 1)^{2}-4(k + 1)\cdot(2k - 2)=k^{2}-6k + 9=(k - 3)^{2}\geq0$，$\therefore$方程有实数根。综上可知，无论$k$取何值，此方程总有实数根。
(2)$\because$方程有两个整数根，$\therefore x_{1}=\frac{1 - 3k + k - 3}{2(k + 1)}=-1$，$x_{2}=\frac{1 - 3k-(k - 3)}{2(k + 1)}=\frac{2(1 - k)}{k + 1}=-2+\frac{4}{k + 1}$，且$k\neq - 1$。$\because x_{2}$为整数，$k$为正整数，$\therefore k = 1$或$k = 3$。
(3)由
(2)得$x_{1}=-1$，$x_{2}=-2+\frac{4}{k + 1}$，且$k\neq - 1$，$\therefore\vert x_{1}-x_{2}\vert=\vert-1-(-2+\frac{4}{k + 1})\vert=\vert1-\frac{4}{k + 1}\vert = 3$，解得$k=-3$或$k = 0$，经检验$k=-3$或$k = 0$符合题意，故$k$的值为$-3$或$0$。