《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

26. (10 分)(2025·郑州模拟)【问题背景】
如图①,点 $A$ 在 $\odot O$ 外,点 $B$、$C$、$D$ 在 $\odot O$ 上.
【解决问题】
(1)请判断 $\angle A$ 和 $\angle B$ 的大小关系,并加以证明.
【实践应用】
(2)在足球比赛场上,仅从射门的角度考虑,球员对球门的视角越大,足球越容易被踢进.如图②,$CD$ 为对方球门,当甲带球冲到 $A$ 点时,同伴乙已经冲到 $B$ 点(点 $A$ 在 $\overgroup { C B D }$ 外),直接判断:甲是自己射门好,还是将球传给乙,让乙射门好?
【拓展延伸】
(3)一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球,如图③,他在点 $D$ 处接到球后,沿 $DP$ 方向带球跑动,并在对球门 $AB$ 的视角最大的点 $M$ 处射门(视角最大时,经过点 $A$、$B$、$M$ 的圆与 $DP$ 切于点 $M$).已知 $A B = 8 \mathrm { m }$,$B C = 11 \mathrm { m }$,视角 $\angle A M B = 30 ^ { \circ }$,$\angle P D Q = 45 ^ { \circ }$(点 $Q$ 在 $C D$ 的延长线上).求 $DM$ 的长.(结果保留根号)

答案：

(1)$∠B ＞ ∠A$,证明:如图①,设 AC 与$\odot O$交于点 E,连接 DE,则$∠CED = ∠B,\because ∠CED = ∠A + ∠ADE,\therefore ∠CED ＞ ∠A,\therefore ∠B ＞ ∠A.$
(2)将球传给乙,让乙射门好. 【解析】如图②,连接 AC、AD、BC、BD,由
(1)可得$∠B ＞ ∠A$,
∵球员对球门的视角越大,足球越容易被踢进,
∴将球传给乙,让乙射门好.

(3)设经过 A、B、M 三点的圆的圆心为 O,如图③,过点 O 作 AB 的垂线,分别交 AB、DP 于点 E、F,连接 OA、OB、OM,则$AE = BE = 4m,∠AOB = 2∠AMB = 60^{\circ }$.又$OA = OB$，
∴△AOB是等边三角形,$\therefore OM = OA = AB = 8m.\because EF⊥AB,∠C = 90^{\circ },\therefore EF// CQ,\therefore ∠OFM = ∠FDQ = 45^{\circ }.\because DP$与$\odot O$相切,$\therefore OM⊥DP,\therefore ∠OMF = ∠MOF = 45^{\circ },\therefore MF = OM = 8m$.过点 F 作$FH⊥CQ$于点 H,则$FH = 4 + 11 = 15(m),\therefore DF = \sqrt{2}FH = 15\sqrt{2}(m),\therefore DM = DF - MF = (15\sqrt{2} - 8)m.$