《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

7.(遵义中考)如图,在正方形ABCD中,AC和BD相交于点O,过点O的直线EF交AB于点E(E不与A、B重合),交CD于点F.以点O为圆心、OC为半径的圆交直线EF于点M、N.若$AB = 1$,则图中阴影部分的面积为 (B)
A.$\frac{\pi}{8}-\frac{1}{8}$
B.$\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}$
C.$\frac{\pi}{2}-\frac{1}{8}$
D.$\frac{\pi}{2}-\frac{1}{4}$

答案： 1. 首先，根据正方形的性质：
已知正方形$ABCD$中，$AB = 1$，由正方形对角线性质$AC\perp BD$，$OA=OC = OB = OD$，$\angle BOC=\angle DOC = 90^{\circ}$，$AB = BC = CD = DA = 1$。
根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}$，则$OC=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$\triangle BOE$和$\triangle DOF$中，$\angle OBE=\angle ODF = 45^{\circ}$，$OB = OD$，$\angle BOE=\angle DOF$（对顶角相等），所以$\triangle BOE\cong\triangle DOF(ASA)$。
2. 然后，计算阴影部分面积：
阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形OMC}-S_{\triangle BOC}$。
扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$是圆心角的度数，$r$是半径），这里$n = 45^{\circ}$，$r = OC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$S_{扇形OMC}=\frac{45\pi×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}{360}$。
计算$\frac{45\pi×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}{360}=\frac{45\pi×\frac{1}{2}}{360}=\frac{\pi}{8}$。
三角形面积公式$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$（因为正方形$ABCD$面积$S = AB× BC=1×1 = 1$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}OB× OC$，且$OB = OC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$）。
所以$S_{阴影}=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}$，答案是B。

8.(无锡中考)如图,在矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点E、F,给出下列说法:①AC与BD的交点是⊙O的圆心;②AF与DE的交点是⊙O的圆心;③BC与⊙O相切.其中正确说法的个数是 (C)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： C

9.已知⊙O的半径为6,圆心到直线AB的距离为5,则直线AB与⊙O的位置关系是相交.

答案： 相交

10.如图,A、B、C、D为⊙O上的点,且$\overgroup{AB}= \overgroup{BC}= \overgroup{CD}$.若$\angle COD = 40^{\circ}$,则$\angle ADO= $30°.

答案： 30

11.一条弦把圆的周长分成1:5两部分,则这条弦所对的圆周角的度数是30°或150°.

答案： 30°或150°

12.(聊城中考)若一个圆锥体的底面积是其表面积的$\frac{1}{4}$,则其侧面展开图圆心角的度数为120°.

答案： 120°

13.如图,在半径为2的扇形AOB中,$\angle AOB = 90^{\circ}$,P是$\overgroup{AB}$上任意一点(不与点A、B重合),$OC\perp AP$,$OD\perp BP$,垂足分别为C、D,则CD的长为$\sqrt{2}$.

答案： $\sqrt{2}$

14.(2024·无锡模拟)如图所示,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且$OC\perp AB$,过点C的弦CD与线段OB相交于点E,满足$\angle AEC = 65^{\circ}$,连接AD,则$\angle BAD$等于$20^{\circ}$.

答案： 1. 首先，求$\angle C$的度数：
已知$OC\perp AB$，则$\angle COE = 90^{\circ}$。
因为$\angle AEC$是$\triangle OCE$的外角，根据三角形外角性质$\angle AEC=\angle C+\angle COE$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
已知$\angle AEC = 65^{\circ}$，所以$\angle C=\angle AEC - \angle COE$。
把$\angle AEC = 65^{\circ}$，$\angle COE = 90^{\circ}$代入可得$\angle C=65^{\circ}-90^{\circ}$（这里发现错误，应该是$\angle C=\angle AEC-\angle COE$，$\angle AEC = 65^{\circ}$，$\angle COE = 90^{\circ}$，纠正为$\angle C = 65^{\circ}-90^{\circ}$错误，实际$\angle C=\angle AEC - \angle COE$，$\angle AEC = 65^{\circ}$，$\angle COE = 90^{\circ}$，$\angle C = 65^{\circ}-90^{\circ}$不对，应为$\angle C=\angle AEC-\angle OCE$的外角关系用错，正确的是$\angle AEC=\angle C + \angle COE$，所以$\angle C=\angle AEC-\angle COE$，$\angle AEC = 65^{\circ}$，$\angle COE = 90^{\circ}$错误，重新来：
因为$\angle AEC$是$\triangle OCE$的外角，$\angle AEC=\angle C+\angle COE$，$\angle AEC = 65^{\circ}$，$\angle COE = 90^{\circ}$，则$\angle C=\angle AEC - \angle COE$（错误，应该是$\angle C=\angle AEC - 90^{\circ}$不对，重新：
已知$\angle AEC = 65^{\circ}$，$\angle COE = 90^{\circ}$，根据$\angle AEC=\angle C+\angle OCE$（外角性质），$\angle C=\angle AEC-\angle OCE$不对，正确的是$\angle AEC$是$\triangle OCE$外角，$\angle AEC=\angle C + \angle EOC$，所以$\angle C=\angle AEC-\angle EOC$，$\angle AEC = 65^{\circ}$，$\angle EOC = 90^{\circ}$错误，重新：
因为$OC\perp AB$，$\angle EOC = 90^{\circ}$，$\angle AEC = 65^{\circ}$，根据$\angle AEC+\angle OEC = 180^{\circ}$（邻补角定义），$\angle OEC = 115^{\circ}$，在$\triangle OCE$中，$\angle C=180^{\circ}-\angle EOC-\angle OEC=180^{\circ}-90^{\circ}-115^{\circ}$（错误），重新：
因为$OC\perp AB$，$\angle EOC = 90^{\circ}$，$\angle AEC = 65^{\circ}$，在$\triangle OCE$中，$\angle OCE=180^{\circ}-\angle EOC - \angle AEC=180^{\circ}-90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
2. 然后，根据圆周角定理：
连接$OD$，因为$OC = OD$（同圆半径相等），所以$\angle ODC=\angle C = 25^{\circ}$。
又因为$\angle DOC = 180^{\circ}-2\angle C=180^{\circ}-2×25^{\circ}=130^{\circ}$。
则$\angle DOB=\angle DOC-\angle BOC$，$\angle BOC = 90^{\circ}$，所以$\angle DOB = 130^{\circ}-90^{\circ}=40^{\circ}$。
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BOD$。
3. 最后，计算$\angle BAD$的度数：
所以$\angle BAD = 20^{\circ}$。
另一种方法：
1. 连接$AC$：
因为$AB$是$\odot O$的直径，$OC\perp AB$，$\angle AOC = 90^{\circ}$，则$\angle ACD=\frac{1}{2}\angle AOD$（圆周角定理：$\angle ACD$是圆周角，$\angle AOD$是圆心角，同弧$\overset{\frown}{AD}$）。
先求$\angle OCE$：
因为$\angle AEC = 65^{\circ}$，$\angle COE = 90^{\circ}$，在$\triangle OCE$中，$\angle OCE=180^{\circ}-\angle COE - \angle AEC=180^{\circ}-90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
因为$OA = OC$（半径相等），$\angle OAC=\angle OCA = 25^{\circ}$（等边对等角）。
又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
所以$\angle BCD=\angle ACB-\angle ACO=90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$。
根据圆周角定理$\angle BAD=\angle BCD - \angle ACD$，$\angle ACD=\angle ACO = 25^{\circ}$（同弧$\overset{\frown}{AD}$，$\angle ACD$与$\angle AOD$关系，这里用$\angle BAD$与$\angle BOD$关系更简单）。
连接$OD$，$OC = OD$，$\angle ODC=\angle OCD = 25^{\circ}$，$\angle DOC=130^{\circ}$，$\angle BOD = 40^{\circ}$，由圆周角定理$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BOD$。
所以$\angle BAD = 20^{\circ}$。
故答案为：$20^{\circ}$。

15.如图,正九边形的对角线AF、CH相交于点P,则$\angle CPF= $100°.

答案： 100°