《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

1. (2024·常州中考)“绿波”是车辆到达前方各路口时,均遇上绿灯,提高通行效率.小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上,某时刻的导航界面如图所示,前方第一个路口显示绿灯倒计时32s,第二个路口显示红灯倒计时44s,此时车辆分别距离两个路口480m和880m.已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s,第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s.若不考虑其他因素,小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口(在红、绿灯切换瞬间也可通过),则车速v(km/h)的取值范围是54≤v≤72.

答案： 54≤v≤72 [解析]v km/h = $\frac{v}{3.6}$ m/s. 根据题意得：$\begin{cases}v\geq40 \\ 32×\frac{v}{3.6}\geq480 \\ 44×\frac{v}{3.6}\leq880 \\ (44 + 60)×\frac{v}{3.6}\geq880\end{cases}$，解得54≤v≤72，
∴车速v(km/h)的取值范围是54≤v≤72.

2. (2024·镇江中考)图①、②是一个折叠梯的实物图,图③是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图,图④是折叠梯充分展开后的主视图,此时点E落在AC上,已知AB= AC,sin∠BAC≈$\frac{4}{5}$,点D、F、G、J在AB上,DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行,DE= FM= GH= JK= 20cm,DF= FG= GJ= 30cm.点N在AC上,AN、MN的长度固定不变.图⑤是折叠梯完全折叠时的主视图,此时AB、AC重合,点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示.
【分析问题】
(1)如图⑤,用图中的线段填空：AN= MN+EM+AD-____；
(2)如图④,sin∠MEN≈____,由AN= EN+AE= EN+AD,且AN的长度不变,可得MN与EN之间的数量关系为____；
【解决问题】
(3)求MN的长.

答案：

(1)DE [解析]
∵AE = AD - DE，
∴AN = MN + EM + AE = MN + EM + (AD - DE) = MN + EM + AD - DE.
(2)$\frac{4}{5}$MN = EN - 10 [解析]
∵DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，
∴DE//FM.
∵DE = FM = 20cm，
∴四边形DEMF是平行四边形，
∴EM//DF，
∴∠MEN = ∠BAC，
∴sin∠MEN = sin∠BAC = $\frac{4}{5}$.
∵AN = MN + EM + AD - DE，AN = EN + AD，
∴MN + EM + AD - DE = EN + AD，
∴MN + EM - DE = EN，
∴MN + 30 - 20 = EN，
∴MN + 10 = EN.
(3)如图，作MW⊥AC于点W，
∴∠MWN = ∠MWE = 90°，
∴MW² + WN² = MN²，MW = EM·sin∠MEN = 30×$\frac{4}{5}$ = 24(cm)，
∴EW = $\sqrt{EM^{2}-MW^{2}}=\sqrt{30^{2}-24^{2}}$ = 18(cm)，设MN = a cm，则EN = (a + 10)cm，WN = EN - EW = a + 10 - 18 = (a - 8)cm，
∴24² + (a - 8)² = a²，
∴a = 40，
∴MN = 40cm.