《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

20. (8分)如图,在$6×6$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,且每个小正方形的顶点称为格点,$△OAB$的顶点均在格点上,按要求完成画图.(要求仅用无刻度的直尺,且保留必要的画图痕迹)
(1)在图①中,以BO为边,画出$△OBC$,使$△OBC\backsim △ABO$,C为格点;
(2)在图②中,以点O为位似中心.画出$△ODE$,使$△ODE与△OAB$位似,且相似比$k= \frac {OD}{OA}= 2$,点D、E为格点;
(3)在图③中,在OA边上找一个点F,且满足$\frac {AF}{OF}= 3$.

答案：
（1）如图①所示，△OBC即为所求．
（2）如图②所示，△ODE即为所求．
（3）如图③所示，取格点P、Q，连接PQ，交AO于点F，则点F即为所求作的点．3

21. (8分)(上海中考)如图所示,在等腰三角形ABC中,$AB= AC$,点E、F在线段BC上,点Q在线段AB上,且$CF= BE,AE^{2}= AQ\cdot AB$.
求证:(1)$∠CAE= ∠BAF$;
(2)$CF\cdot FQ= AF\cdot BQ$.

答案： （1）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵CF=BE，
∴CF-EF=BE-EF，即CE=BF．在△ACE和△ABF中，{AC=AB,∠C=∠B,CE=BF,}
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF．
（2）
∵△ACE≌△ABF，
∴AE=AF，∠CAE=∠BAF．
∵AE²=AQ·AB，AC=AB，
∴AE/AQ=AC/AF，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF．
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE．
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴CF/BQ=AF/FQ，即CF·FQ=AF·BQ．

22. (8分)如图,已知AD是$△ABC$的角平分线,$\odot O$经过A、B、D三点,过点B作$BE// AD$,交$\odot O$于点E,连接ED.
(1)求证:$ED// AC$;
(2)若$BD= 2CD$,设$△EBD的面积为S_{1},△ADC的面积为S_{2}$,且$S_{1}^{2}-16S_{2}+4= 0$,求$S_{1}和S_{2}$的值;
(3)在(2)的条件下,求$△ABC$的面积.

答案： （1）
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC．
∵∠E=∠BAD，
∴∠E=∠DAC．
∵BE//AD，
∴∠E=∠EDA，
∴∠EDA=∠DAC，
∴ED//AC．
（2）
∵BE//AD，
∴∠EBD=∠ADC．
∵∠E=∠DAC，
∴△EBD∽△ADC，且相似比k=BD/DC=2，
∴S₁/S₂=k²=4，即S₁=4S₂．
∵S₁²-16S₂+4=0，
∴16S₂²-16S₂+4=0，即(4S₂-2)²=0，
∴S₂=$\frac{1}{2}$，S₁=2．
（3）
∵BD=2DC，
∴S△ABD=2S△ADC=1，
∴S△ABC=1$\frac{+1}{2}$=$\frac{3}{2}$．