《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

22. (12分)(2024·海南中考)木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔,位于海南岛的最北端,是海南岛东北部最重要的航标.某天,一艘渔船自西向东(沿$AC$方向)以每小时10海里的速度在琼州海峡航行,如图所示.
航行记录:
记录一:上午8时,渔船到达木兰灯塔$P北偏西60^{\circ}方向上的A$处.
记录二:上午8时30分,渔船到达木兰灯塔$P北偏西45^{\circ}方向上的B$处.
记录三:根据气象观测,当天凌晨4时到上午9时,受天文大潮和天气影响,琼州海峡$C$点周围5海里内,会出现异常海况,点$C位于木兰灯塔P北偏东15^{\circ}$方向.
请你根据以上信息解决下列问题:
(1)填空:$\angle PAB= $____$^{\circ},\angle APC= $____$^{\circ},AB= $____海里;
(2)若该渔船不改变航线与速度,是否会进入“海况异常”区,请计算说明.
(参考数据:$\sqrt{2}\approx 1.41,\sqrt{3}\approx 1.73,\sqrt{6}\approx 2.45$)

答案：

(1)30 75 5 【解析】如图所示，过点P作PD⊥AC于点D，由题意得，∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°，
∴∠PAB=90° - ∠APD=30°，∠APC=∠APD+∠CPD=75°.
∵一艘渔船自西向东(沿AC方向)以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发，上午8时30分到达B，
∴AB=10×0.5=5海里.
　　　　　　　
(2)设PD=x海里，在Rt△PDB中，BD=PD·tan∠DPB=x海里，在Rt△APD中，AD=$\frac{PD}{\tan A}=\sqrt{3}x$海里，AP=$\frac{PD}{\sin A}=2x$海里.
∵AD=AB+BD，
∴x+5=$\sqrt{3}x$，解得x=$\frac{5}{\sqrt{3}-1}=\frac{5\sqrt{3}+5}{2}$．
∴AP=2x=(5$\sqrt{3}+5)$海里.
∵∠C=180° - ∠A - ∠APC=75°，
∴∠C=∠APC，
∴AC=AP=(5$\sqrt{3}+5)$海里.上午9时时，船距离A的距离为10×1=10海里，
∴5$\sqrt{3}+5 - 10=5\sqrt{3}-5≈5×1.73 - 5=3.65＜5$，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区.

23. (12分)(2023·益阳中考)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ},AC＞BC$,点$D在边AC$上,将线段$DA绕点D按顺时针方向旋转90^{\circ}得到DA'$,线段$DA'交AB于点E$,作$A'F\perp AB于点F$,与线段$AC交于点G$,连接$FC、GB$.
(1)求证:$\triangle ADE\cong \triangle A'DG$;
(2)求证:$AF\cdot GB= AG\cdot FC$;
(3)若$AC= 8,\tan A= \frac{1}{2}$,当$A'G平分四边形DCBE$的面积时,求$AD$的长.

答案：

(1)
∵线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA'，
∴DA=DA'，∠ADA'=∠GDA'=90°，
∴∠A+∠AED=90°.
∵A'F⊥AB，即∠A'FE=90°，
∴∠A'+∠A'EF=90°.
∵∠AED=∠A'EF，
∴∠A=∠A'，在△ADE和△A'DG中，
∵∠A=∠A'，DA=DA'，∠ADE=∠A'DG=90°，
∴△ADE≌△A'DG(ASA).
(2)
∵∠BFG=∠ACB=90°，
∴点B、C、G、F四点共圆，
∴∠CBG=∠CFG，∠ABC+∠CGF=180°.
∵∠AGF+∠CGF=180°，
∴∠AGF=∠ABC.
∵∠AGF=∠CFG+∠ACF，∠ABC=∠ABG+∠CBG，
∴∠ACF=∠ABG.
∵∠A=∠A，
∴△ABG∽△ACF，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{BG}{CF}$，即AF·GB=AG·FC.
(3)如图，连接EG.
∵△ADE≌△A'DG，
∴DE=DG，AE=A'G.
∵AC=8，tanA=$\frac{1}{2}$，
∴tanA=$\frac{BC}{AC}=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}$，tanA'=$\frac{EF}{A'F}=\frac{1}{2}$，
∴BC=4，A'D=AD=2DE，A'F=2EF，
∴AB=4$\sqrt{5}$.设DE=DG=x，则A'D=AD=2x，
∴AE=A'G=$\sqrt{5}x$，A'E=x，CG=8 - 3x，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}x$，A'F=$\frac{2\sqrt{5}}{5}x$，
∴FG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}x$，BF=4$\sqrt{5}-\frac{6\sqrt{5}}{5}x$.
∵A'G平分四边形DCBE的面积，
∴S△DEG+S△FEG=S△BCG+S△BFG，
∴$\frac{1}{2}DE·DG+\frac{1}{2}EF·FG=\frac{1}{2}BC·CG+\frac{1}{2}BF·FG$，即$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{5}x×\frac{3\sqrt{5}}{5}x=\frac{1}{2}×4×(8 - 3x)+\frac{1}{2}×(4\sqrt{5}-\frac{6\sqrt{5}}{5}x)×\frac{3\sqrt{5}}{5}x$，解得x=$\frac{4\sqrt{65}}{13}$(负值已舍去)，
∴AD=2x=$\frac{8\sqrt{65}}{13}$.