《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

21.(8分)(2024·南通中考)已知函数$y= (x-a)^{2}+(x-b)^{2}$(a、b为常数).设自变量x取$x_{0}$时,y取得最小值.
(1)若$a= -1$,$b= 3$,求$x_{0}$的值;
(2)在平面直角坐标系xOy中,点$P(a,b)在双曲线y= -\frac {2}{x}$上,且$x_{0}= \frac {1}{2}$,求点P到y轴的距离;
(3)当$a^{2}-2a-2b+3= 0$,且$1≤x_{0}＜3$时,分析并确定整数a的个数.

答案： $(1)$ 求$x_{0}$的值
解：
将$y=(x - a)^{2}+(x - b)^{2}$展开可得：
$y=x^{2}-2ax + a^{2}+x^{2}-2bx + b^{2}=2x^{2}-2(a + b)x + a^{2}+b^{2}$。
对于二次函数$y = Ax^{2}+Bx + C$（$A\neq0$），其对称轴为$x =-\frac{B}{2A}$，在$y = 2x^{2}-2(a + b)x + a^{2}+b^{2}$中，$A = 2$，$B=-2(a + b)$，所以对称轴$x_{0}=\frac{a + b}{2}$。
当$a=-1$，$b = 3$时，$x_{0}=\frac{-1 + 3}{2}=1$。
$(2)$ 求点$P$到$y$轴的距离
解：
因为$x_{0}=\frac{a + b}{2}=\frac{1}{2}$，所以$a + b = 1$，则$b = 1 - a$。
又因为点$P(a,b)$在双曲线$y =-\frac{2}{x}$上，所以$b=-\frac{2}{a}$，即$1 - a=-\frac{2}{a}$。
整理得$a^{2}-a - 2 = 0$，因式分解$(a - 2)(a + 1)=0$，解得$a = 2$或$a=-1$。
点$P$到$y$轴的距离为$\vert a\vert$，所以点$P$到$y$轴的距离为$1$或$2$。
$(3)$ 确定整数$a$的个数
解：
由$a^{2}-2a - 2b + 3 = 0$可得$b=\frac{a^{2}-2a + 3}{2}$。
因为$x_{0}=\frac{a + b}{2}$，且$1\leq x_{0}\lt3$，所以$1\leq\frac{a+\frac{a^{2}-2a + 3}{2}}{2}\lt3$。
先解不等式$\frac{a+\frac{a^{2}-2a + 3}{2}}{2}\geq1$：
$\begin{aligned}a+\frac{a^{2}-2a + 3}{2}&\geq2\\2a+a^{2}-2a + 3&\geq4\\a^{2}&\geq1\\a&\geq1或a\leq - 1\end{aligned}$
再解不等式$\frac{a+\frac{a^{2}-2a + 3}{2}}{2}\lt3$：
$\begin{aligned}a+\frac{a^{2}-2a + 3}{2}&\lt6\\2a+a^{2}-2a + 3&\lt12\\a^{2}&\lt9\\-3\lt a\lt3\end{aligned}$
综合可得$-3\lt a\leq - 1$或$1\leq a\lt3$。
满足条件的整数$a$为$-2$，$-1$，$1$，$2$，共$4$个。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{1}$；$(2)$$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2}$；$(3)$$\boldsymbol{4}$个。

22.(8分)(盐城中考)如图,若二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图像与x轴有两个交点$M(x_{1},0)$、$N(x_{2},0)$$(0＜x_{1}＜x_{2})$,且经过点$A(0,2)$.过点A的直线l与x轴交于点C,与该函数的图像交于点B(异于点A).满足$△ACN$是等腰直角三角形,记$△AMN的面积为S_{1}$,$△BMN的面积为S_{2}$,且$S_{2}= \frac {5}{2}S_{1}$.
(1)抛物线的开口方向向上(填“上”或“下”);
(2)求直线l相应的函数表达式;
(3)求该二次函数的表达式.
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答案：
(1)上