《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23. (10分)(常州中考)已知二次函数$y= ax^{2}+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y$如下表:
| $x$ | …$$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | …$$ |
| $y$ | …$$ | $4$ | $3$ | $0$ | $-5$ | $-12$ | …$$ |
(1)求二次函数$y= ax^{2}+bx+3$的表达式.
(2)将二次函数$y= ax^{2}+bx+3的图像向右平移k(k＞0)$个单位长度,得到二次函数$y= mx^{2}+nx+q$的图像,使得当$-1＜x＜3$时,$y随x$增大而增大;当$4＜x＜5$时,$y随x$增大而减小.请写出一个符合条件的二次函数$y= mx^{2}+nx+q的表达式y= $$-x²+6x -5$,实数$k$的取值范围是$4≤k≤5$.
(3)$A$、$B$、$C是二次函数y= ax^{2}+bx+3$的图像上互不重合的三点.已知点$A$、$B的横坐标分别是m$、$m+1$,点$C与点A$关于该函数图像的对称轴对称,求$\angle ACB$的度数.
(1)将(-1,4)，(1,0)代入y=ax²+bx+3得{a - b + 3=4，a + b + 3=0}，解得{a=-1，b=-2}，∴二次函数的表达式为y=-x²-2x+3。
(2)-x²+6x -5（答案不唯一） 4≤k≤5
(3)当点B在点C左侧时，过点B作BH⊥AC于点H。∵点A、B的横坐标分别是m、m + 1，∴yA=-m²-2m + 3，yB=-(m + 1)²-2(m + 1)+3=-m²-4m，∴A(m,-m²-2m + 3)，B(m + 1,-m²-4m)。∵点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x=-1，∴(xA+xC)/2=-1，AC//x轴，∴xC=-2 - m，∴C(-2 - m,-m²-2m + 3)，∴BH=|-m²-4m-(-m²-2m + 3)|=|-2m - 3|，CH=|(-2 - m)-(m + 1)|=|-2m - 3|，∴BH=CH，∴△BHC是等腰直角三角形，∴∠HCB=45°，即∠ACB=45°；当点B在点C右侧时，同理可得△BHC是等腰直角三角形，∴∠ACB=180°-∠BCH=135°。综上所述，∠ACB的度数是45°或135°。

答案：
(1)将(-1,4)，(1,0)代入y=ax²+bx+3得{a - b + 3=4，a + b + 3=0}，解得{a=-1，b=-2}，
∴二次函数的表达式为y=-x²-2x+3。
(2)-x²+6x -5（答案不唯一） 4≤k≤5　【解析】如图①。
∵y=-x²-2x+3=-(x + 1)²+4，
∴将二次函数y=-x²-2x+3的图像向右平移k(k＞0)个单位长度得y=-(x - k + 1)²+4的图像，
∴新图像的对称轴为直线x=k - 1。
∵当-1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴3≤k - 1≤4，解得4≤k≤5，
∴符合条件的二次函数y=mx²+nx+q的表达式可以是y=-(x - 3)²+4=-x²+6x -5。
(3)当点B在点C左侧时，过点B作BH⊥AC于点H，如图②。
∵点A、B的横坐标分别是m、m + 1，
∴yA=-m²-2m + 3，yB=-(m + 1)²-2(m + 1)+3=-m²-4m，
∴A(m,-m²-2m + 3)，B(m + 1,-m²-4m)。
∵点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x=-1，
∴(xA+xC)/2=-1，AC//x轴，
∴xC=-2 - m，
∴C(-2 - m,-m²-2m + 3)，
∴BH=|-m²-4m-(-m²-2m + 3)|=|-2m - 3|，CH=|(-2 - m)-(m + 1)|=|-2m - 3|，
∴BH=CH，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴∠HCB=45°，即∠ACB=45°；当点B在点C右侧时，如图③，同理可得△BHC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=180°-∠BCH=135°。综上所述，∠ACB的度数是45°或135°。

24. (12分)(扬州中考)下图是一块铁皮余料,将其放置在平面直角坐标系中,底部边缘$AB在x$轴上,且$AB= 8dm$,外轮廓线是抛物线的一部分,对称轴为$y$轴,高度$OC= 8dm$.现计划将此余料进行切割:
(1)若切割成正方形,要求一边在底部边缘$AB$上且面积最大,求此正方形的面积;
(2)若切割成矩形,要求一边在底部边缘$AB$上且周长最大,求此矩形的周长;
(3)若切割成圆,判断能否切得半径为3dm的圆,请说明理由.

答案：
(1)由题可知A(-4,0)，B(4,0)，C(0,8)，设抛物线的表达式为y=ax²+8，把点B(4,0)代入，得0=16a + 8，解得a=-1/2，
∴抛物线的表达式为y=-1/2x²+8。如图①，正方形MNPQ即为符合题意的正方形，设其边长为2m，则点P的坐标为(m,2m)，将其代入抛物线的表达式得-1/2m²+8=2m，解得m₁=2√5-2，m₂=-2√5-2（舍去），
∴2m=4√5-4，(2m)²=(4√5-4)²=96 - 32√5。则正方形的面积为(96 - 32√5) dm²。
(2)矩形DEFG如图②所示，设DE=2n，则E(n,0)。将x=n代入抛物线的表达式得y=-1/2n²+8，则F(n,-1/2n²+8)，EF=-1/2n²+8，
∴矩形DEFG的周长=2(DE + EF)=2(2n - 1/2n²+8)=-n²+4n + 16=-(n - 2)²+20，当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20 dm。
(3)能。如图③，为了尽可能切割到半径为3 dm的圆，应保证圆心H的坐标为(0,3)，设抛物线上任意一点J的坐标为(x,-1/2x²+8)，圆心H到点J的距离为HJ=√[x²+(-1/2x²+8 - 3)²]=√[1/4x⁴ - 4x² + 25]=√[1/4(x² - 8)² + 9]。
∵(x² - 8)²≥0，
∴1/4(x² - 8)² + 9≥9，
∴√[1/4(x² - 8)² + 9]≥3，即HJ≥3，故能切得半径为3 dm的圆。