《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

17.已知一次函数$y_{1}= kx+m(k≠0)和二次函数y_{2}= ax^{2}+bx+c(a≠0)$部分自变量和对应的函数值如下表:

则关于x的方程$ax^{2}+bx+c-kx-m= 0$的解是____x₁ = -2，x₂ = 1.

答案： x₁ = -2，x₂ = 1

18.(内江中考)已知抛物线$y_{1}= -x^{2}+4x$(如图)和直线$y_{2}= 2x+b$.我们规定:当x取任意一个值时,x对应的函数值分别为$y_{1}和y_{2}$.若$y_{1}≠y_{2}$,取$y_{1}和y_{2}$中较大者为M;若$y_{1}= y_{2}$,记$M= y_{1}= y_{2}$.①当$x= 2$时,M的最大值为4;②当$b= -3$时,使$M＞y_{2}$的x的取值范围是$-1＜x＜3$;③当$b= -5$时,使$M= 3$的x的值是$x_{1}= 1$,$x_{2}= 3$;④当$b≥1$时,M随x的增大而增大.上述结论正确的是____.(填写所有正确结论的序号)
②④

答案： ②④

19.(8分)(2025·无锡期末)已知二次函数$y= x^{2}-2mx+m+2$(m是常数)的图像是抛物线.
(1)若图像经过点$(2,3)$,求m的值和图像的顶点坐标;
(2)若抛物线的顶点在x轴上,则$m=$2或-1;
(3)若点$B(2,a)$,$C(5,b)$在抛物线上,且$a＞b$,则m的取值范围是$m>\frac{7}{2}$.

答案： 1. （1）
解：
因为二次函数$y = x^{2}-2mx + m + 2$的图像经过点$(2,3)$，将$x = 2$，$y = 3$代入函数可得：
$3=2^{2}-2m×2 + m + 2$。
即$3 = 4-4m + m + 2$。
移项可得$4m - m=4 + 2-3$。
合并同类项得$3m = 3$，解得$m = 1$。
此时二次函数为$y=x^{2}-2x + 3$，根据二次函数顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对于$y = ax^{2}+bx + c$（这里$a = 1$，$b=-2$，$c = 3$）。
对称轴$x=-\frac{-2}{2×1}=1$。
当$x = 1$时，$y=1^{2}-2×1 + 3=2$。
所以顶点坐标为$(1,2)$。
2. （2）
对于二次函数$y=x^{2}-2mx + m + 2$（$a = 1$，$b=-2m$，$c = m + 2$），其顶点纵坐标为$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
因为顶点在$x$轴上，所以$\frac{4×1×(m + 2)-(-2m)^{2}}{4×1}=0$。
即$4(m + 2)-4m^{2}=0$。
化简得$m + 2-m^{2}=0$，即$m^{2}-m - 2=0$。
因式分解得$(m - 2)(m+1)=0$。
解得$m = 2$或$m=-1$。
3. （3）
二次函数$y=x^{2}-2mx + m + 2$的对称轴为$x = m$。
把$x = 2$代入$y=x^{2}-2mx + m + 2$得$a=4-4m + m + 2=6 - 3m$。
把$x = 5$代入$y=x^{2}-2mx + m + 2$得$b=25-10m + m + 2=27 - 9m$。
因为$a\gt b$，所以$6 - 3m\gt27 - 9m$。
移项得$9m-3m\gt27 - 6$。
合并同类项得$6m\gt21$，解得$m\gt\frac{7}{2}$。
综上，答案依次为：（1）$m = 1$，顶点坐标$(1,2)$；（2）$2$或$-1$；（3）$m\gt\frac{7}{2}$。

20.(8分)(2023·南京中考)已知二次函数$y= ax^{2}-2ax+3$(a为常数,$a≠0$).
(1)若$a＜0$,求证:该函数的图像与x轴有两个公共点;
(2)若$a= -1$,求证:当$-1＜x＜0$时,$y＞0$;
(3)若该函数的图像与x轴有两个公共点$(x_{1},0)$,$(x_{2},0)$,且$-1＜x_{1}＜x_{2}＜4$,则a的取值范围是a ＞ 3或a ＜ -1.

答案：
(3)a ＞ 3或a ＜ -1