《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23. (10分)每年九月是开学季,大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要,校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货,购进甲、乙、丙三种不同款式的笔记本共950本,已知甲款笔记本的进价为2元/本,乙款笔记本的进价是4元/本,丙款笔记本的进价是6元/本.
(1)本次进货共花费3300元,并且甲款笔记本的数量是乙款笔记本数量的2倍,请问本次购进丙款笔记本多少本?
(2)经过调研发现,甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时,每天可分别售出甲款笔记本30本、乙款笔记本50本和丙款笔记本20本.如果将乙款笔记本的零售价提高$\frac {a}{25}元(a＞25)$,甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变,那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%,丙款笔记本每天的销售量将上升$\frac {1}{2}a%$,甲款笔记本每天的销售量仍保持不变.若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元,求a的值.

答案：
(1)设购进乙款笔记本的数量为$x$本，则甲款为$2x$本，丙款为$(950 - 3x)$本，根据题意得$2×2x + 4x + 6(950 - 3x)=3300$，解得$x = 240$，$\therefore950 - 3x = 230$。答：本次购进丙款笔记本230本。
(2)根据题意得$(4 - 2)×30+(6+\frac{a}{25}-4)×50(1 - a\%)+(10 - 6)×20(1+\frac{1}{2}a\%)=260$，整理得$a^{2}-70a + 1000 = 0$，解得$a_{1}=50$，$a_{2}=20$（不符合题意，舍去）。答：$a$的值为50。

24. (8分)如图①,某校有一块菱形空地ABCD,$∠A= 60^{\circ },AB= 40m$.现计划在内部修建一个四个顶点分别落在菱形四条边上的矩形鱼池EFGH,其余部分种草坪,园林公司修建鱼池、草坪的造价分别为$y_{1}$(元)、$y_{2}$(元),与修建面积$S(m^{2})$之间的函数关系如图②所示,设AE为x m.
(1)填空:$ED= $$(40 - x)$m,$EH= $$\sqrt{3}(40 - x)$m;(用含x的代数式表示)
(2)若矩形鱼池EFGH的面积是$300\sqrt {3}m^{2}$,求EF的长度;$\because AD = AB$，$\angle A = 60^{\circ}$，易得$AF = AE = EF = xm$。由(1)可知$EH=\sqrt{3}(40 - x)m$，又$EF\cdot EH = 300\sqrt{3}$，即$x\cdot\sqrt{3}(40 - x)=300\sqrt{3}$，整理得$x^{2}-40x + 300 = 0$，解得$x_{1}=10$，$x_{2}=30$，经检验均符合题意。答：$EF$的长度为$10m$或$30m$。
(3)当EF的长度为多少时,修建鱼池和草坪的总造价最低,最低造价为多少元?依题意得草坪单价为$4800÷80 = 60$（元$/m^{2}$），鱼池单价为$4800÷96 = 50$（元$/m^{2}$），连接$AC$、$BD$，$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$AB = 40m$，$\therefore BD = 40m$，$AC = 40\sqrt{3}m$，$\therefore$菱形$ABCD$的面积是$\frac{1}{2}×40×40\sqrt{3}=800\sqrt{3}(m^{2})$。$\because$矩形$EFGH$的面积是$x\cdot\sqrt{3}(40 - x)=(-\sqrt{3}x^{2}+40\sqrt{3}x)m^{2}$，$\therefore$草坪的面积是$800\sqrt{3}-(-\sqrt{3}x^{2}+40\sqrt{3}x)=(\sqrt{3}x^{2}-40\sqrt{3}x + 800\sqrt{3})m^{2}$，总造价为$50(-\sqrt{3}x^{2}+40\sqrt{3}x)+60(\sqrt{3}x^{2}-40\sqrt{3}x + 800\sqrt{3})=10\sqrt{3}x^{2}-400\sqrt{3}x + 48000\sqrt{3}=10\sqrt{3}(x - 20)^{2}+44000\sqrt{3}$。$\because10\sqrt{3}(x - 20)^{2}\geq0$，$\therefore$当$x = 20$时，总造价最低，最低造价为$44000\sqrt{3}$元。答：当$EF$的长度为$20m$时，修建鱼池和草坪的总造价最低，最低造价为$44000\sqrt{3}$元。

答案：
(1)$(40 - x)$ $\sqrt{3}(40 - x)$
(2)$\because AD = AB$，$\angle A = 60^{\circ}$，易得$AF = AE = EF = xm$。由
(1)可知$EH=\sqrt{3}(40 - x)m$，又$EF\cdot EH = 300\sqrt{3}$，即$x\cdot\sqrt{3}(40 - x)=300\sqrt{3}$，整理得$x^{2}-40x + 300 = 0$，解得$x_{1}=10$，$x_{2}=30$，经检验均符合题意。答：$EF$的长度为$10m$或$30m$。
(3)依题意得草坪单价为$4800÷80 = 60$（元$/m^{2}$），鱼池单价为$4800÷96 = 50$（元$/m^{2}$），连接$AC$、$BD$，$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$AB = 40m$，$\therefore BD = 40m$，$AC = 40\sqrt{3}m$，$\therefore$菱形$ABCD$的面积是$\frac{1}{2}×40×40\sqrt{3}=800\sqrt{3}(m^{2})$。$\because$矩形$EFGH$的面积是$x\cdot\sqrt{3}(40 - x)=(-\sqrt{3}x^{2}+40\sqrt{3}x)m^{2}$，$\therefore$草坪的面积是$800\sqrt{3}-(-\sqrt{3}x^{2}+40\sqrt{3}x)=(\sqrt{3}x^{2}-40\sqrt{3}x + 800\sqrt{3})m^{2}$，总造价为$50(-\sqrt{3}x^{2}+40\sqrt{3}x)+60(\sqrt{3}x^{2}-40\sqrt{3}x + 800\sqrt{3})=10\sqrt{3}x^{2}-400\sqrt{3}x + 48000\sqrt{3}=10\sqrt{3}(x - 20)^{2}+44000\sqrt{3}$。$\because10\sqrt{3}(x - 20)^{2}\geq0$，$\therefore$当$x = 20$时，总造价最低，最低造价为$44000\sqrt{3}$元。答：当$EF$的长度为$20m$时，修建鱼池和草坪的总造价最低，最低造价为$44000\sqrt{3}$元。