《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

16. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = BC = 2 $,将$ \triangle ABC 绕AC的中点D逆时针旋转90^{\circ}得到 \triangle A'B'C' $,其中点$B的运动路径为 \overgroup{BB'} $,则图中阴影部分的面积为$\frac{5}{4}\pi-\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{5}{4}\pi-\frac{3}{2}$

17. 在《代数学》中记载了求方程$ x^{2}+8x = 33 $正数解的几何方法:如图①,先构造一个面积为$ x^{2} $的正方形,再以正方形的边为一边向外构造四个面积为$2x$的矩形,则图中大正方形的面积为$33 + 16 = 49$,则该方程的正数解$ x = \sqrt{49}-2 × 2 = 3 $,小明尝试用此方法解关于$x的方程 x^{2}+10x + c = 0 $时,构造出如图②所示的正方形.已知图②中阴影部分的面积和为55,则该方程的正数解为______$4\sqrt{5}-5$.

答案： $4\sqrt{5}-5$

18. (2023·广元中考)如图,$ \angle ACB = 45^{\circ} $,半径为2的$ \odot O $与角的两边相切,点$P是 \odot O $上任意一点,过点$P$向角的两边作垂线,垂足分别为$E$、$F$,设$ t = PE + \sqrt{2}PF $,则$t$的取值范围是______$2\sqrt{2}\leq t\leq2\sqrt{2}+4$.

答案： $2\sqrt{2}\leq t\leq2\sqrt{2}+4$

19. (7分)已知关于$x的方程 x^{2}-(6 + m)x + 9 + 3m = 0 $.
(1)求证:无论$m$为何值,方程都有两个实数根;
(2)若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长,求$m$的值.

答案： （1）关于x的方程$x^{2}-(6 + m)x + 9 + 3m = 0$，
∵$a = 1$，$b = -(6 + m)$，$c = 9 + 3m$，
∴$b^{2}-4ac = [-(6 + m)]^{2}-4(9 + 3m)=m^{2}\geq0$，
∴无论m为何值，方程都有两个实数根；（2）设直角三角形的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴$AB + AC = m + 6$，$AB\cdot AC =9 + 3m$。
∵$\triangle ABC$是直角三角形，
∴$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，
∴$(AB + AC)^{2}-2AB\cdot AC = BC^{2}$，即$(m + 6)^{2}-2×(9 + 3m)=5^{2}$，解得$m = - 7$或$m = 1$。又
∵$AB\cdot AC = 9 + 3m$为正数，
∴m的值是1。

20. (7分)(南京中考)某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动,要求每位学生选择两天参加活动.
(1)甲同学随机选择两天,其中有一天是星期二的概率是多少?
(2)乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期二的概率是______.

答案：
（1）画树状图如图所示(星期一、二、三、四记作1、2、3、4)：共有12种等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6种，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$；（2）$\frac{2}{3}$

21. (8分)(无锡中考改编)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积比为$1:2$的矩形,已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为$x$m(如图),矩形养殖场的总面积为$ y \text{ m}^{2} $.
(1)试写出$y与x之间的函数表达式及自变量x$的取值范围;
(2)若矩形养殖场的总面积为$36 \text{ m}^{2}$,求此时$x$的值.
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答案： （1）根据题意，得$CD = 2x$m，$DE=\frac{24 - x - 2x}{3}=(8 - x)$m，
∴$y=(x + 2x)(8 - x)=-3x^{2}+24x$。
∵墙的长度为10m，
∴$0 ＜ 3x\leq10$，
∴$0 ＜ x\leq\frac{10}{3}$；（2）根据题意，得$-3x^{2}+24x = 36$，解得$x = 2$或$x = 6$，经检验，$x = 6$时，$6＞\frac{10}{3}$，不符合题意，舍去，
∴$x = 2$