《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

21. (8分)(2025·绵阳模拟)如图,$△ABC内接于\odot O$,D是BC上一点,$AD= AC$,E是$\odot O$外一点,$∠BAE= ∠CAD,∠ADE= ∠ACB$,连接BE.
(1)若$AB= 8$,求AE的长;
(2)求证:EB是$\odot O$的切线.

答案：
(1) $\because \angle BAE=\angle CAD$，$\therefore \angle DAE=\angle CAB$.又$\because AD=AC$，$\angle ADE=\angle ACB$，$\therefore \triangle DAE≌\triangle CAB(ASA)$，$\therefore AE=AB=8$.
(2) 如图，连接 OA、OB，由
(1)得 AE=AB，AD=AC，$\therefore \angle ABE=\angle AEB$，$\angle ADC=\angle ACD$.$\because \angle BAE=\angle CAD$，$\therefore \angle ABE=\angle AEB=\angle ADC=\angle ACB$.$\because OA=OB$，$\therefore \angle OBA=\angle OAB=\frac{1}{2}(180^{\circ }-\angle AOB)=90^{\circ }-\frac{1}{2}\angle AOB$.又$\because \angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$，$\therefore \angle OBA=90^{\circ }-\angle ACB$，$\therefore \angle OBE=\angle OBA+\angle ABE=90^{\circ }-\angle ACB+\angle ACB=90^{\circ }$.$\because OB$是半径，$\therefore EB$是$\odot O$的切线.

22. (8分)新趋势 数学文化 阅读材料,解答问题:
关于圆的引理
古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种,下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题:
如图①,AB是$\odot O$的弦,点C在$\odot O$上,$CD⊥AB$于点D,在弦AB上取点E,使$DE= AD$,点F是$\widehat {BC}$上的一点,且$\widehat {CF}= \widehat {CA}$,连接BF,则$BF= BE$.
小颖对这个问题很感兴趣,经过思考,写出了下面的证明过程:
证明:如图②,连接CA、CE、CF、BC.
$\because CD⊥AB$于点D,$DE= AD,\therefore CA= CE,\therefore ∠CAE= ∠CEA$.
$\because \widehat {CF}= \widehat {CA},\therefore CF= CA$(依据1),$∠CBF= ∠CBA$.
$\because$ 四边形ABFC内接于$\odot O,\therefore ∠CAB+∠CFB= 180^{\circ }$(依据2).
……
(1)上述证明过程中的依据1为在同圆中相等的弧所对的弦相等,依据2为圆内接四边形的对角互补;
(2)将上述证明过程补充完整.
$\because \angle CEA+\angle CEB=180^{\circ }$，$\therefore \angle CFB=\angle CEB$.在$\triangle CFB$和$\triangle CEB$中，$\begin{cases}\angle CFB=\angle CEB\\\angle CBF=\angle CBA\\BC=BC\end{cases}$，$\therefore \triangle CFB≌\triangle CEB(AAS)$，$\therefore BF=BE$.

答案：
(1) 在同圆中相等的弧所对的弦相等 圆内接四边形的对角互补
(2) $\because \angle CEA+\angle CEB=180^{\circ }$，$\therefore \angle CFB=\angle CEB$.在$\triangle CFB$和$\triangle CEB$中，$\begin{cases}\angle CFB=\angle CEB\\\angle CBF=\angle CBA\\BC=BC\end{cases}$，$\therefore \triangle CFB≌\triangle CEB(AAS)$，$\therefore BF=BE$.