《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

22. (8分)新趋势 尺规作图 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,用直尺与圆规分别作出满足下列条件的$\odot O$.(不写作法,保留作图痕迹)
(1)在图①中,$\odot O过点C且与AB$相切;(作出一个即可)
(2)在图②中,$D为AB$上一定点,$\odot O过点C且与AB相切于点D$;
(3)在图③中,$E为AC$上一定点,$\odot O过点C$、$E且与AB$相切.

答案：

23. (8分)(2024·盐城期中)【发现结论】
一元二次方程的几何解法最早可以追溯到古希腊,小聪同学在了解到英格兰著名文学家卡莱尔给出的几何解法后,也有了他自己的新发现:如图①,在平面直角坐标系中,已知点$A(0,a)$、$B(-b,c)$,以$AB为直径作\odot M$.若$\odot M与x轴交于点P(s,0)$、$Q(t,0)$,则$s$、$t为关于x的方程x^{2}+bx + ac = 0$的两个实数根.
【探究思考】
(1)由题意得$\angle APB = 90^{\circ}$,$AP^{2}= s^{2}+a^{2}$,$BP^{2}= (-b - s)^{2}+c^{2}$,$AB^{2}= b^{2}+(a - c)^{2}$.
在$Rt\triangle ABP$中,由$AP^{2}+BP^{2}= AB^{2}$,得$s^{2}+a^{2}+(-b - s)^{2}+c^{2}= b^{2}+(a - c)^{2}$.
化简得:s²+bs+ac=0.同理可得:t²+bt+ac=0.
所以$s$、$t为方程x^{2}+bx + ac = 0$的两个实数根.
【灵活运用】
(2)如图②,$x_{1}$、$x_{2}$为方程x²-5x+3=0的两个实数根.
(3)在图③所给网格图的$x轴上画出以方程x^{2}-3x - 2 = 0两根为横坐标的点P$、$Q$.(点$P位于点Q$左侧)
以A(0,1)及B(3,-2)两点为端点的线段AB为对角线画正方形ACBD,连接CD交AB于R,再以R为圆心,AR长为半径画圆,圆与x轴的交点的横坐标即为方程x²-3x-2=0的两个根,两交点P、Q即为所画的点,如图②所示.(合理即可)
(4)已知点$A(0,-8)$、$B(8,-2)$,以$AB为直径作\odot C$.根据小聪的发现判断$\odot C与x$轴的位置关系,并说明理由.
⊙C与x轴相切.理由:
∵点A(0,-8)、B(8,-2),结合题意可得⊙C与x轴两个交点的横坐标为方程x²-8x+16=0的两个根,
∵b²-4ac=(-8)²-4×1×16=0,
∴方程x²-8x+16=0有两个相等的实数根,对应地,⊙C与x轴只有一个交点,即⊙C与x轴相切.

答案：
(1)s²+bs+ac=0 t²+bt+ac=0
(2)x²-5x+3=0
(3)以A(0,1)及B(3,-2)两点为端点的线段AB为对角线画正方形ACBD,连接CD交AB于R,再以R为圆心,AR长为半径画圆,圆与x轴的交点的横坐标即为方程x²-3x-2=0的两个根,两交点P、Q即为所画的点,如图②所示.(合理即可)
(4)⊙C与x轴相切.理由:
∵点A(0,-8)、B(8,-2),结合题意可得⊙C与x轴两个交点的横坐标为方程x²-8x+16=0的两个根,
∵b²-4ac=(-8)²-4×1×16=0,
∴方程x²-8x+16=0有两个相等的实数根,对应地,⊙C与x轴只有一个交点,即⊙C与x轴相切.