《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

16.(镇江中考)如图,在等腰△ABC中,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$BC = 6\sqrt{3}$,⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切,⊙O的半径为3.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转$\alpha(0^{\circ}＜\alpha\leqslant360^{\circ})$,B、C的对应点分别为B'、C',在旋转的过程中,边B'C'所在直线与⊙O相切的次数为3.

答案： 3

17.如图,AB是⊙O的直径,点C是$\overgroup{AB}$的中点,点D是直径AB所在直线下方一点,连接CD,且满足$\angle ADB = 60^{\circ}$,$BD = 2$,$AD = 3\sqrt{3}$,则△ABD的面积为$\frac{9}{2}$;CD的长为$\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

答案： $\frac{9}{2}$ $\frac{7\sqrt{2}}{2}$

18.如图,在△ABC中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,$AB = 4$,CD是中线,点E、F同时从点D出发,以相同的速度分别沿DC、DB方向移动,当点E到达点C时,运动停止,直线AE分别与CF、BC相交于点G、H,则在点E、F移动过程中,点G移动路线的长度为$\frac{\sqrt{2}}{2}$π.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$π

19.(8分)如图所示的拱桥,用$\overgroup{AB}$表示桥拱.
(1)若$\overgroup{AB}$所在圆的圆心为O,EF是弦CD的垂直平分线,请你利用尺规作图,找出圆心O.(不写作法,但要保留作图痕迹)
(2)若拱桥的跨度(弦AB的长)为16m,拱高($\overgroup{AB}$的中点到弦AB的距离)为4m,求拱桥的半径R.

答案： （1）如图①，点O即为所求作的圆心.
[解析]作法:作弦AB的垂直平分线，交$\overgroup{AB}$于点G，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心.
理由:不在同一条直线上的三点确定一个圆，根据△ABC外接圆的作法，确定⊙O.
（2）如图②，连接OA.由（1）中的作图可知:△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH=4，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=8.
∵GH=4，
∴OH=R-4.在Rt△AOH中，由勾股定理得OA²=AH²+OH²，
∴R²=8²+(R-4)²，解得R=10，
∴拱桥的半径R为10m.