《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23.(10分)(2023·南充中考)某工厂计划从A、B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价m元/件(m为常数),且$4≤m≤6$,售价8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价12元/件,售价20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与每日产销x(件)满足关系式$y= 80+0.01x^{2}$.
(1)若产销A、B两种产品的日利润分别为$w_{1}$元,$w_{2}$元,请分别写出$w_{1}$、$w_{2}$与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)分别求出产销A、B两种产品的最大日利润.(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)
(3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由.
【利润= (售价-成本)×产销数量-专利费】

答案：
(1)解：对于A产品，根据利润公式可得：$w_{1}=(8 - m)x - 30$，x的取值范围是$0 ＜ x ≤ 500$，且x为整数。
对于B产品，同理可得：$w_{2}=(20 - 12)x - (80 + 0.01x^{2}) = -0.01x^{2} + 8x - 80$，x的取值范围是$0 ＜ x ≤ 300$，且x为整数。
(2)解：对于A产品，因为$4 ≤ m ≤ 6$，所以$8 - m ＞ 0$，$w_{1}$随x的增大而增大。当$x = 500$时，$w_{1}$取得最大值，$w_{1max}=(8 - m)×500 - 30 = 4000 - 500m - 30 = 3970 - 500m$。
对于B产品，$w_{2}=-0.01x^{2} + 8x - 80$，其中$a = -0.01$，$b = 8$，对称轴为$x = -\frac{8}{2×(-0.01)} = 400$。因为$a = -0.01 ＜ 0$，抛物线开口向下，在对称轴左侧$w_{2}$随x的增大而增大。又因为$x ≤ 300 ＜ 400$，所以当$x = 300$时，$w_{2}$取得最大值，$w_{2max}=-0.01×300^{2} + 8×300 - 80 = -0.01×90000 + 2400 - 80 = -900 + 2400 - 80 = 1420$。
(3)解：当$3970 - 500m ＞ 1420$时，$-500m ＞ 1420 - 3970$，$-500m ＞ -2550$，$m ＜ 5.1$。因为$4 ≤ m ＜ 5.1$，所以此时选择产销A产品。
当$3970 - 500m = 1420$时，$m = 5.1$，此时产销A、B产品日利润相同。
当$3970 - 500m ＜ 1420$时，$m ＞ 5.1$。因为$5.1 ＜ m ≤ 6$，所以此时选择产销B产品。
综上，当$4 ≤ m ＜ 5.1$时，选择产销A产品；当$m = 5.1$时，产销A、B产品均可；当$5.1 ＜ m ≤ 6$时，选择产销B产品。

24.(12分)新题型新定义(南通中考)定义:若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为这个函数图像的“等值点”.例如:点$(1,1)是函数y= \frac {1}{2}x+\frac {1}{2}$的图像的“等值点”.
(1)分别判断函数$y= x+2$,$y= x^{2}-x$的图像上是否存在“等值点”?如果存在,求出“等值点”的坐标;如果不存在,说明理由.
(2)设函数$y= \frac {3}{x}(x＞0)$,$y= -x+b$的图像的“等值点”分别为点A、B,过点B作$BC⊥x$轴,垂足为C.当$△ABC$的面积为3时,求b的值.
(3)若函数$y= x^{2}-2(x≥m)的图像记为W_{1}$,将其沿直线$x= m翻折后的图像记为W_{2}$.当$W_{1}$、$W_{2}$两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时,直接写出m的取值范围.

答案：
(3)m ＜ $\frac{-9}{8}$或-1 ＜ m ＜ 2