《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

4. (2024·潍坊中考)在光伏发电系统运行时,太阳能板(如图①)与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响.某地区工作人员对日平均太阳辐射量y(单位：kW·h·10⁻^1·m⁻^2·d⁻^1)和太阳能板与水平地面的夹角x°(0≤x≤90)进行统计,绘制了如图②所示的散点图,已知该散点图可用二次函数刻画.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时,日平均太阳辐射量最大?
(3)图③是该地区太阳能板安装后的示意图(此时,太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大),∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角,CD为支撑杆.已知AB= 2m,C是AB的中点,CD⊥GD.在GD延长线上选取一点M,在D,M两点间选取一点E,测得EM= 4m,在M,E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°,45°,该测角仪支架的高为1m.求支撑杆CD的长.(精确到0.1m,参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414,$\sqrt{3}$≈1.732)

答案：

(1)设y关于x的函数表达式为y = ax² + bx + c，将(0, 40)，(10, 45)，(30, 49)代入，得$\begin{cases}40 = c \\ 45 = 100a + 10b + c \\ 49 = 900a + 30b + c\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{100} \\ b = \frac{3}{5} \\ c = 40\end{cases}$，
∴y = -$\frac{1}{100}$x² + $\frac{3}{5}$x + 40.
(2)根据函数表达式得函数对称轴x = -$\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{1}{100}×2}$ = 30，故太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大.
(3)y = -$\frac{1}{100}$x² + $\frac{3}{5}$x + 40 = -$\frac{1}{100}$(x - 30)² + 49，如图，过点A作AH⊥NF交NF的延长线于点H，令FH = a m，
∴AH = a m，AN = 2AH = 2a m，
∴HN = $\sqrt{AN^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3}a$ m.
∵HN = HF + FN = (4 + a)m，
∴$\sqrt{3}a = 4 + a$，
∴a = (2$\sqrt{3}$ + 2)m，
∴AN = (4$\sqrt{3}$ + 4)m，延长AN交直线GM于点J.
∵∠AJG = ∠AGJ，
∴AJ = AG.
∵AJ = AN + $\frac{NM}{\cos60^{\circ}}$ = (4$\sqrt{3}$ + 6)m，
∴AG = (4$\sqrt{3}$ + 6)m，
∴CG = AG - CA = (4$\sqrt{3}$ + 5)m，
∴CD = CGsin30° = $\frac{CG}{2}=\frac{5}{2}$ + 2$\sqrt{3}$≈2.5 + 2×1.732≈6.0(m).