《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

20. (6分)已知关于$x的方程3x^{2}-(a - 3)x - a = 0$.不论$a$取何值,方程总有一个不变的根,求这个不变根.

答案： 化简得3x²-(x+1)a+3x=0,因为不论a取何值,方程总有一个不变的根,所以x+1=0,x=-1,这个不变根为x=-1.

21. (8分)关于$x的一元二次方程x^{2}-14x + 4m = 0$有实数根.
(1)求$m$的取值范围;
(2)$Rt\triangle ABC的斜边长p = m - 2$,两条直角边长$r$、$s恰好是方程x^{2}-14x + 4m = 0$的两个根,求$m$的值.

答案：
(1)由题意可知(-14)²-4×4m≥0,解得m≤12.5.
(2)由题意可知r+s=14,rs=4m,由勾股定理可知r²+s²=(m-2)²,
∴(r+s)²-2rs=(m-2)²,
∴196-2×4m=(m-2)²,即m²+4m-192=0,解得m₁=-16(舍去),m₂=12.故m的值为12.