《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

20.(8分)(济宁中考)如图,在$ \triangle A B C $中,$ A B = A C $,点$ P 在 B C $上.
(1)求作:$ \triangle P C D $,使点$ D 在 A C $上,且$ \triangle P C D \backsim \triangle A B P $;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若$ \angle A P C = 2 \angle A B C $.求证:$ P D // A B $.

答案：
(1)如图，作出∠APD=∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP。
(2)
∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，
∴∠BAP=∠ABC。又
∵△PCD∽△ABP，
∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，
∴∠DPC=∠ABC，
∴PD//AB。

21.(8分)如图,在$ 7 × 4 $方格纸中,点$ A $、$ B $、$ C $都在格点上,用无刻度直尺作图.
(1)在图①中的线段$ A C 上找一个点 E $,使$ A E = \frac { 3 } { 5 } A C $;
(2)在图②中作一个格点$ \triangle B D E $,使$ \triangle B D E 与 \triangle A B C $相似,且面积比为$ 8 : 5 $.

答案：

22.(8分)如图为某小区入口处安装的汽车出入道闸示意图.如图①,道闸关闭时,四边形$ A B C D $是矩形,且$ B C 落在 M N $上.如图②,在道闸打开的过程中,边$ A D $固定,$ A D \perp 直线 l $,连杆$ A B $、$ C D 分别绕点 A $、$ D $转动,且边$ B C 始终与边 A D $平行,$ P 为 C D $上的一点(不与点$ C $、$ D $重合),过点$ P 作 P E \perp l $,$ P F \perp M N $,垂足分别为$ E $、$ F $,即四边形$ P E N F $是矩形,过点$ D 作 D Q \perp P E $,垂足为$ Q $,延长$ B C 与 P F 相交于点 R $.
(1)$ \triangle P D Q 与 \triangle C P R $相似吗? 请判断并说明理由.
(2)若道闸长$ A B = 6 $米,宽$ A D = 2 $米,点$ D 距地面 0.4 $米,$ P E = 2.4 $米,$ C R = 1 $米.求$ P F $的长.

答案：
(1)△PDQ与△CPR相似，理由如下：
∵DQ⊥PE，
∴∠DQP=90°。
∵PF⊥MN，BC//MN，
∴BC⊥PF，
∴∠PRC=90°，
∴∠DQP=∠PRC。
∵PE//BC，
∴∠DPQ=∠PCR，
∴△PDQ∽△CPR。
(2)
∵点D距地面0.4米，即QE=0.4米，
∴PQ=PE-QE=2.4-0.4=2（米）。
∵△PDQ∽△CPR，PD/CP=PQ/CR=2。
∵CD=AB=6米，
∴PD=4米，CP=2米。在Rt△PDQ中，DQ=√(PD²-PQ²)=2√3（米），
∵DQ+PF=CD，
∴PF=(6-2√3)米。