《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

20. (8 分)关于 $x$ 的方程 $2x^{2}+(m + 2)x + m = 0$.
(1) 求证:不论 $m$ 取何值,方程总有两个实数根;
(2) 若方程有两个相等的实数根,请求出 $m$ 的值并求此时方程的根.

答案：
(1)$b^{2}-4ac=(m+2)^{2}-4×2×m=(m-2)^{2}$。$\because$不论m取何值,$b^{2}-4ac=(m-2)^{2}$恒大于或等于0,$\therefore$原方程总有两个实数根。
(2)$\because$原方程有两个相等的实数根,$\therefore b^{2}-4ac=(m-2)^{2}=0$,解得$m=2$,将$m=2$代入原方程得$2x^{2}+4x+2=0$,得$(x+1)^{2}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=-1$,$\therefore$原方程的根为$x_{1}=x_{2}=-1$。

21. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,点 $A$ 的坐标为 $(0,7)$,点 $B$ 的坐标为 $(0,3)$,点 $C$ 的坐标为 $(3,0)$.
(1) 若 $\triangle ABC$ 的外接圆的圆心为 $M$,请在图中标出点 $M$ 的位置,并求出点 $M$ 的坐标为(5,5);

(2) $\triangle ABC$ 的外接圆与 $x$ 轴的另一个交点坐标是(7,0);
(3) 连接 $AM$、$CM$,用扇形 $AMC$ 围成一个圆锥的侧面,该圆锥的底面圆半径是$\frac {\sqrt {29}}{4}$.(结果保留根号)

答案：
(1)$(5,5)$
(2)$(7,0)$
(3)$\frac {\sqrt {29}}{4}$

22. (10 分)小明在学完物理“电学”知识后,进行“灯泡亮了”的实验,设计了如图所示的电路图,电路图上有 5 个开关 $S_{1}$、$S_{2}$、$S_{3}$、$S_{4}$、$S_{5}$ 和一个小灯泡,当开关 $S_{1}$ 闭合时,再同时闭合开关 $S_{2}$、$S_{3}$ 或 $S_{4}$、$S_{5}$ 都可以使小灯泡发亮.
(1) 当开关 $S_{1}$、$S_{2}$ 已经闭合时,再任意闭合开关 $S_{3}$、$S_{4}$、$S_{5}$ 中的一个,小灯泡能亮起来的概率是______;
(2) 当开关 $S_{1}$ 已经闭合时,再任意闭合开关 $S_{2}$、$S_{3}$、$S_{4}$、$S_{5}$ 中的两个,请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率.

答案：

(1)$\frac {1}{3}$
(2)画树状图如下:

由树状图可知,所有可能发生的结果共有12种,能使灯泡亮起来的共有4种,所以小灯泡能亮起来的概率为$\frac {4}{12}=\frac {1}{3}$。