《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

15. 如图,AB、DE是$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,$∠ABC= 20^{\circ }$,点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转$\alpha ^{\circ }(0＜\alpha ＜180)$,当$\alpha =$50或70或160时,直径DE在$\triangle ABC$中截得的三角形与$\triangle ABC$相似.

答案： 50或70或160

16. (黔西南州中考)如图,在$Rt\triangle OAB$中,$∠AOB= 90^{\circ }$,$OA= OB$,$AB= 1$,作正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$,使顶点$A_{1}$、$B_{1}$分别在边OA、OB上,边$C_{1}D_{1}$在AB上;类似地,在$Rt\triangle OA_{1}B_{1}$中,作正方形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$;在$Rt\triangle OA_{2}B_{2}$中,作正方形$A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}$……依次作下去,则第n正方形$A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$的边长是$\frac{1}{3^n}$.

答案： $\frac{1}{3^n}$

17. (2024·成都中考)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,AD是$\triangle ABC$的一条角平分线,E为AD中点,连接BE.若$BE= BC$,$CD= 2$,则$BD= $$\frac{\sqrt{17}+1}{2}$.

答案： $\frac{\sqrt{17}+1}{2}$

18. 新趋势数学文化(2024·武汉中考)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E、F,记正方形ABCD的面积为$S_{1}$,正方形MNPQ的面积为$S_{2}$.若$BE= kAE(k＞1)$,则用含k的式子表示$\frac {S_{1}}{S_{2}}$的值是$\frac{k^2+1}{(k-1)^2}$.

答案： $\frac{k^2+1}{(k-1)^2}$

19. (8分)(盐城中考)如图,在$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$中,点D、$D'$分别在边BC、$B'C'$上,且$\triangle ACD\backsim \triangle A'C'D'$,若③,则$\triangle ABD\backsim \triangle A'B'D'$.请从①$\frac {BD}{CD}= \frac {B'D'}{C'D'}$;②$\frac {AB}{CD}= \frac {A'B'}{C'D'}$;③$∠BAD= ∠B'A'D'$这3个选项中选择一个作为条件(写序号),并加以证明.

证明：∵△ACD∽△A'C'D'
∴∠ADC=∠A'D'C',
∴∠ADB=∠A'D'B',又
∵∠BAD=∠B'A'D'
∴△ABD∽△A'B'D'.

答案： 答案不唯一,如选③.
∵△ACD∽△A'C'D'
∴∠ADC=∠A'D'C',
∴∠ADB=∠A'D'B',又
∵∠BAD=∠B'A'D'
∴△ABD∽△A'B'D'.