《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

21. (7 分) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + x - a - 1 = 0 $.
(1) 求证：方程总有实数根；
(2) 设方程的两个根分别为 $ x _ { 1 } $、$ x _ { 2 } $,求 $ ( x _ { 1 } - 1 ) ( x _ { 2 } - 1 ) $ 的值.

答案：
(1)由题意得a ≠ 0。
方法1：
∵a = a，b = 1，c = -a - 1，
∴b² - 4ac = 1 - 4a(-a - 1) = 4a² + 4a + 1 = (2a + 1)²。
∵(2a + 1)² ≥ 0，
∴b² - 4ac ≥ 0，
∴方程总有实数根。
方法2：原方程可化为a(x² - 1) + (x - 1) = 0，即(x - 1)[a(x + 1) + 1] = 0，
∴x₁ = 1，x₂ = - $\frac{a + 1}{a}$，
∴方程总有实数根。
(2)方法1：由方程的两个根为x₁、x₂，得x₁ + x₂ = - $\frac{1}{a}$，x₁x₂ = - $\frac{a + 1}{a}$，
∴(x₁ - 1)(x₂ - 1) = x₁x₂ - (x₂ + x₁) + 1 = - $\frac{a + 1}{a}$ + $\frac{1}{a}$ + 1 = 0，
∴(x₁ - 1)(x₂ - 1) = 0。
方法2：解方程ax² + x - a - 1 = 0，得x₁ = 1，x₂ = - $\frac{a + 1}{a}$，
∴(x₁ - 1)(x₂ - 1) = 0。

22. (8 分) 如图,在四边形 $ A B C D $ 中,$ A C $、$ B D $ 相交于点 $ F $,点 $ E $ 在 $ B D $ 上,且 $ \frac { A B } { A E } = \frac { B C } { E D } = \frac { A C } { A D } $.
(1) 求证：$ \angle B A E = \angle C A D $；
(2) 求证：$ \triangle A B E \backsim \triangle A C D $.

答案：
(1)在△ABC与△AED中，
∵$\frac{AB}{AE}$ = $\frac{BC}{ED}$ = $\frac{AC}{AD}$，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC = ∠EAD，
∴∠BAC - ∠EAF = ∠EAD - ∠EAF，即∠BAE = ∠CAD。
(2)
∵$\frac{AB}{AE}$ = $\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AE}{AD}$。又
∵∠BAE = ∠CAD，$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AE}{AD}$，
∴△ABE∽△ACD。

23. (8 分) 某商店经销的某种商品,每件成本为 30 元. 经市场调研,售价为 40 元时,可销售 600 件；售价每提高 1 元,销售量将减少 10 件. 销售价格是多少时,才能获得最大利润？最大利润是多少？

答案： 设销售单价为x元，销售利润为W元。根据题意得W = (x - 30)·[600 - 10(x - 40)] = -10x² + 1300x - 30000 = -10(x - 65)² + 12250。
∵ - 10 ＜ 0，
∴当x = 65时，W有最大值12250。故销售单价为65元时，销售利润最大，最大利润为12250元。