《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

25. (12分)新题型 新定义(长沙中考)我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图像上至少存在不同的两点关于 $ y $ 轴对称,则把该函数称为“$ T $ 函数”,其图像上关于 $ y $ 轴对称的不同两点叫做一对“$ T $ 点”.根据该约定,完成下列各题.
(1)若点 $ A(1,r) $ 与点 $ B(s,4) $ 是关于 $ x $ 的“$ T $ 函数” $ y = \begin{cases} -\frac{4}{x}(x \lt 0), \\ tx^2(x \geq 0,t \neq 0,t是常数) \end{cases} $ 的图像上的一对“$ T $ 点”,则 $ r = $4,$ s = $-1,$ t = $4.(将正确答案填在相应的横线上)
(2)关于 $ x $ 的函数 $ y = kx + p(k、p是常数) $ 是“$ T $ 函数”吗?如果是,指出它有多少对“$ T $ 点”;如果不是,请说明理由.
(2)由题意，分以下两种情况：①当$k\neq0$时，假设关于$x$的函数$y=kx + p$（$k$、$p$是常数）是“$T$函数”，点$(x_0,y_0)(x_0\neq0)$与点$(-x_0,y_0)$是其图像上的一对“$T$点”，则$\begin{cases}kx_0 + p=y_0\\-kx_0 + p=y_0\end{cases}$，解得$k=0$，与$k\neq0$相矛盾，假设不成立，
∴当$k\neq0$时，不是“$T$函数”；②当$k=0$时，函数$y=kx + p$是一条平行于$x$轴的直线，是“$T$函数”，它有无数对“$T$点”。综上，当$k\neq0$时不是“$T$函数”；当$k=0$时是“$T$函数”，有无数对“$T$点”；
(3)若关于 $ x $ 的“$ T $ 函数” $ y = ax^2 + bx + c(a \gt 0,且a、b、c是常数) $ 经过坐标原点 $ O $,且与直线 $ l:y = mx + n(m \neq 0,n \gt 0,且m、n是常数) $ 交于 $ M(x_1,y_1) $、$ N(x_2,y_2) $ 两点,当 $ x_1、x_2 $ 满足 $ (1 - x_1)^{-1} + x_2 = 1 $ 时,直线 $ l $ 是否总经过某一定点?若经过某一定点,求出该定点的坐标;否则,请说明理由.
(3)直线$l$总经过定点$(1,0)$，理由如下：由题意，将$O(0,0)$代入$y=ax^2 + bx + c$得$c=0$，
∴$y=ax^2 + bx$。设点$(x,y)(x\neq0)$与点$(-x,y)$是“$T$函数”$y=ax^2 + bx$图像上的一对“$T$点”，则$\begin{cases}ax^2 + bx=y\\ax^2 - bx=y\end{cases}$，解得$b=0$，
∴$y=ax^2(a＞0)$，联立$\begin{cases}y=ax^2\\y=mx + n\end{cases}$得$ax^2 - mx - n=0$。
∵“$T$函数”$y=ax^2$与直线$y=mx + n$交于点$M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$，
∴$x_1$、$x_2$是方程$ax^2 - mx - n=0$的两个不相等的实数根，
∴$x_1 + x_2=\frac{m}{a}$，$x_1x_2=-\frac{n}{a}$。
∵$(1 - x_1)^{-1} + x_2=1$，
∴$\frac{1}{1 - x_1} + x_2=1$，整理得$x_1 + x_2=x_1x_2$，即$\frac{m}{a}=-\frac{n}{a}$，解得$n=-m$，则直线$l$的表达式为$y=mx - m$。当$x=1$时，$y=m - m=0$，与$m$无关，因此，直线$l$总经过定点$(1,0)$。

答案：
(1)4，-1，4；
(2)由题意，分以下两种情况：①当$k\neq0$时，假设关于$x$的函数$y=kx + p$（$k$、$p$是常数）是“$T$函数”，点$(x_0,y_0)(x_0\neq0)$与点$(-x_0,y_0)$是其图像上的一对“$T$点”，则$\begin{cases}kx_0 + p=y_0\\-kx_0 + p=y_0\end{cases}$，解得$k=0$，与$k\neq0$相矛盾，假设不成立，
∴当$k\neq0$时，不是“$T$函数”；②当$k=0$时，函数$y=kx + p$是一条平行于$x$轴的直线，是“$T$函数”，它有无数对“$T$点”。综上，当$k\neq0$时不是“$T$函数”；当$k=0$时是“$T$函数”，有无数对“$T$点”；
(3)直线$l$总经过定点$(1,0)$，理由如下：由题意，将$O(0,0)$代入$y=ax^2 + bx + c$得$c=0$，
∴$y=ax^2 + bx$。设点$(x,y)(x\neq0)$与点$(-x,y)$是“$T$函数”$y=ax^2 + bx$图像上的一对“$T$点”，则$\begin{cases}ax^2 + bx=y\\ax^2 - bx=y\end{cases}$，解得$b=0$，
∴$y=ax^2(a＞0)$，联立$\begin{cases}y=ax^2\\y=mx + n\end{cases}$得$ax^2 - mx - n=0$。
∵“$T$函数”$y=ax^2$与直线$y=mx + n$交于点$M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$，
∴$x_1$、$x_2$是方程$ax^2 - mx - n=0$的两个不相等的实数根，
∴$x_1 + x_2=\frac{m}{a}$，$x_1x_2=-\frac{n}{a}$。
∵$(1 - x_1)^{-1} + x_2=1$，
∴$\frac{1}{1 - x_1} + x_2=1$，整理得$x_1 + x_2=x_1x_2$，即$\frac{m}{a}=-\frac{n}{a}$，解得$n=-m$，则直线$l$的表达式为$y=mx - m$。当$x=1$时，$y=m - m=0$，与$m$无关，因此，直线$l$总经过定点$(1,0)$。