《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23.(10分)(2024·合肥模拟)如图,在四边形ABCD中,AO平分∠BAD.点O在AC上,以点O为圆心,OA长为半径,作⊙O与BC相切于点B,BO的延长线交⊙O于点E,交AD于点F,连接AE、DE.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AE= DE= 8,求AF的长.

答案：
(1)连接OD，
∵AO平分∠BAD，
∴∠BAO=∠DAO.
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠ABO，∠ADO=∠DAO，
∴∠BOC=2∠BAO，∠DOC=2∠DAO，
∴∠BOC=∠DOC.
∵OB=OD，OC=OC，
∴△BOC≌△DOC(SAS)，
∴∠OBC=∠ODC.
∵⊙O与BC相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线.
(2)
∵OA=OD，AE=DE=8，
∴OE垂直平分AD，∠DAE=∠ADE.
∴∠AFE=90°.
∵∠ADE=∠ABE，
∴∠DAE=∠ABE.
∵∠BAO=∠DAO=∠ABO，
∴∠BAO=∠DAO=∠DAE.
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAO=∠DAO=∠DAE=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×8=4
∴AF=$\sqrt {(AE²-EF²)}=$$\sqrt {(8²-4²)}=4\sqrt {3}.$

24.(12分)(金华中考)在扇形AOB中,半径OA= 6,点P在OA上,连接PB,将△OBP沿PB折叠得到△O'BP.
(1)如图①,若∠O= 75°,且BO'与⌢AB所在的圆相切于点B.
①求∠APO'的度数;
②求AP的长.
(2)如图②,BO'与⌢AB相交于点D,若点D为⌢AB的中点,且PD//OB,求⌢AB的长.

答案：
(1)①∠APO'的度数为60°；②AP的长为6 - 2√6；
(2)⌢AB的长为12π/5