《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

8. 已知函数 $ y = ax^2 - (a + 1)x + 1 $,则下列说法不正确的个数是 ( C )
①若该函数图像与 $ x $ 轴只有一个交点,则 $ a = 1 $;
②方程 $ ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0 $ 至少有一个整数根;
③若 $ \frac{1}{a} \lt x \lt 1 $,则 $ y = ax^2 - (a + 1)x + 1 $ 的函数值都是负数;
④不存在实数 $ a $,使得 $ ax^2 - (a + 1)x + 1 \leq 0 $ 对任意实数 $ x $ 都成立.
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： C

9. (无锡中考)请写出一个函数表达式,使其图像的对称轴为 $ y $ 轴:$y = x^2$（答案不唯一）.

答案： $y = x^2$（答案不唯一）

10. 若点 $ P(-1,3) $ 是二次函数 $ y = x^2 + mx + n $ 图像上一点,则 $ 2025 + m - n = $2023.

答案： 2023

11. (2024·宿迁月考)已知函数 $ y = -x^2 + 2x + k $ 的图像经过点 $ (-1,y_1) $、$ (2,y_2) $,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系为$y_1＜y_2$.

答案： $y_1＜y_2$

12. 已知二次函数 $ y = x^2 + 2x - 3 $ 的图像与坐标轴交于 $ A、B、C $ 三点,则 $ \triangle ABC $ 的面积为6.

答案： 6

13. (2025·上海模拟)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,将抛物线 $ y = a(x - m)^2 + k $ 先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,所得到的新抛物线的对称轴是直线 $ x = -1 $,那原抛物线的顶点的横坐标是2.

答案： 2

14. (2024·松原模拟)如图为一座拱桥的部分示意图,中间桥洞的边界线是抛物线形,涝季的最高水位线在 $ AB $ 处,此时桥洞中水面宽度 $ AB $ 仅为4米,桥洞顶部点 $ O $ 到水面 $ AB $ 的距离仅为1米;旱季最低水位线在 $ CD $ 处,此时桥洞中水面宽度 $ CD $ 达12米,那么最低水位 $ CD $ 与最高水位 $ AB $ 之间的距离为8米.

答案： 8

15. (2024·菏泽模拟)若一个点纵坐标是横坐标的两倍,则称这个点为“三倍点”.若在 $ -3 \lt x \lt 1 $ 的范围内,二次函数 $ y = -x^2 - x + c $ 的图像上存在两个“三倍点”,则 $ c $ 的取值范围为$-\frac{9}{4}＜c＜0$.

答案： $-\frac{9}{4}＜c＜0$

16. 如图,抛物线过点 $ A(2,0) $、$ B(6,0) $、$ C(1,\sqrt{3}) $,平行于 $ x $ 轴的直线 $ CD $ 交抛物线于点 $ C、D $,以 $ AB $ 为直径的圆交直线 $ CD $ 于点 $ E、F $,则 $ CE + FD $ 的值是4.

答案： 4

17. 如图,一段抛物线:$ y = -x(x - 2)(0 \leq x \leq 2) $ 记为 $ C_1 $,它与 $ x $ 轴交于两点 $ O、A_1 $;将 $ C_1 $ 绕 $ A_1 $ 旋转 $ 180^\circ $ 得到 $ C_2 $,交 $ x $ 轴于 $ A_2 $;将 $ C_2 $ 绕 $ A_2 $ 旋转 $ 180^\circ $ 得到 $ C_3 $,交 $ x $ 轴于 $ A_3 $,…,如此进行下去,直至得到 $ C_{2024} $,若点 $ P(m,n) $ 是第2024段抛物线 $ C_{2024} $ 的顶点,则 $ m = $4047.

答案： 4047

18. 新题型 新定义(无锡中考)设 $ P(x,y_1) $、$ Q(x,y_2) $ 分别是函数 $ C_1、C_2 $ 图像上的点,当 $ a \leq x \leq b $ 时,总有 $ -1 \leq y_1 - y_2 \leq 1 $ 恒成立,则称函数 $ C_1、C_2 $ 在 $ a \leq x \leq b $ 上是“逼近函数”,$ a \leq x \leq b $ 为“逼近区间”.则下列结论:①函数 $ y = x - 5 $,$ y = 3x + 2 $ 在 $ 1 \leq x \leq 2 $ 上是“逼近函数”;②函数 $ y = x - 5 $,$ y = x^2 - 4x $ 在 $ 3 \leq x \leq 4 $ 上是“逼近函数”;③ $ 0 \leq x \leq 1 $ 是函数 $ y = x^2 - 1 $,$ y = 2x^2 - x $ 的“逼近区间”;④ $ 2 \leq x \leq 3 $ 是函数 $ y = x - 5 $,$ y = x^2 - 4x $ 的“逼近区间”.其中正确的有②③.(填序号)

答案： ②③