《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23. (10分)如图,建筑物BC上有一根旗杆AB,小芳计划测量该建筑物的高度,方法如下:在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD,小芳沿CD后退,发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上,继续后退,发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上,已知旗杆$AB= 3$米,$FD= 4$米,$DE= 5$米,$EG= 1.5$米,点A、B、C在一条直线上,点C、D、E、G在一条直线上,AC、FD均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC.

答案： 1. 首先，根据相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）：
因为$AC\perp CG$，$FD\perp CG$，所以$\angle ACD=\angle FDE = 90^{\circ}$，又$\angle AEC=\angle FED$，则$\triangle AEC\sim\triangle FED$。
同理，$\angle BCG=\angle FDG = 90^{\circ}$，$\angle BGC=\angle FGD$，则$\triangle BGC\sim\triangle FGD$。
2. 然后，由$\triangle AEC\sim\triangle FED$，根据相似三角形的性质（相似三角形对应边成比例）：
设$CD = x$米，$BC = y$米，可得$\frac{AC}{FD}=\frac{CE}{DE}$，即$\frac{y + 3}{4}=\frac{x + 5}{5}$。
由$\triangle BGC\sim\triangle FGD$，可得$\frac{BC}{FD}=\frac{CG}{DG}$，即$\frac{y}{4}=\frac{x + 5+1.5}{x + 1.5}$。
3. 接着，对$\frac{y + 3}{4}=\frac{x + 5}{5}$进行化简：
交叉相乘得$5(y + 3)=4(x + 5)$，展开式子$5y+15 = 4x + 20$，移项可得$4x=5y - 5$，即$x=\frac{5y - 5}{4}$。
4. 再将$x=\frac{5y - 5}{4}$代入$\frac{y}{4}=\frac{x + 6.5}{x + 1.5}$：
则$\frac{y}{4}=\frac{\frac{5y - 5}{4}+6.5}{\frac{5y - 5}{4}+1.5}$。
方程两边同时乘以$4\left(\frac{5y - 5}{4}+1.5\right)$得：
$y\left(\frac{5y - 5}{4}+1.5\right)=4\left(\frac{5y - 5}{4}+6.5\right)$。
展开式子：$\frac{5y^{2}-5y}{4}+1.5y = 5y - 5 + 26$。
方程两边同时乘以$4$去分母得：$5y^{2}-5y + 6y=20y-20 + 104$。
整理得$5y^{2}-19y - 84 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 5$，$b=-19$，$c = - 84$），根据求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算$\Delta=b^{2}-4ac=(-19)^{2}-4×5×(-84)=361 + 1680 = 2041$，$y=\frac{19\pm\sqrt{2041}}{10}$。
或者对$5y^{2}-19y - 84 = 0$进行因式分解：
$5y^{2}-19y - 84=(5y + 14)(y - 6)=0$。
则$5y+14 = 0$或$y - 6 = 0$。
解得$y_{1}=-\frac{14}{5}$（高度不能为负舍去），$y_{2}=6$。
所以这座建筑物的高$BC$为$6$米。

24. (12分)新题型 新定义 (2024·徐州中考)在$△ABC$中,点D在边AB上,若$CD^{2}= AD\cdot DB$,则称点D是点C的“关联点”.
(1)如图①,在$△ABC$中,若$∠ACB= 90^{\circ },CD⊥AB$于点D.试说明:点D是点C的“关联点”.
(2)如图②,已知点D在线段AB上,用无刻度的直尺和圆规作一个$△ABC$,使其同时满足下列条件:①点D为点C的“关联点”;②$∠ACB$是钝角(保留作图痕迹,不写作法).
(3)若$△ABC$为锐角三角形,且点D为点C的“关联点”.设$AD= m,DB= n$,用含m、n的代数式表示AC的取值范围(直接写出结果).

答案： （1）
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD．
∵∠CDA=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD/BD=AD/CD，
∴CD²=AD·DB，
∴点D是点C的“关联点”．
（2）如图①，△ABC即为所求． 【解析】如图①，①作线段AB的垂直平分线，交AB于点O；②以点O为圆心，OA长为半径作圆；③过点D作DP⊥AB交⊙O于点P；④以点D为圆心，DP长为半径画圆，则点C在⊙D上且在直线DP右侧．连接AC、BC，△ABC即为所求．
∵点P在以AB长为直径的圆上运动，
∴∠APB=90°，由（1）可知DP²=AD·DB，
∵DC=DP，
∴CD²=AD·DB．
（3）$\sqrt {(mn - m²)}＜AC＜\sqrt {(mn + m²)}或\sqrt {(mn + m²)}＜AC＜\sqrt {(m² + 3mn)}$