《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

17. 新题型 新定义 (济南中考)新定义:在平面直角坐标系中,对于点 $ P ( m, n ) $ 和点 $ P ^ { \prime } ( m, n ^ { \prime } ) $,若满足 $ m \geq 0 $ 时,$ n ^ { \prime } = n - 4 $; $ m ＜ 0 $ 时,$ n ^ { \prime } = - n $,则称点 $ P ^ { \prime } ( m, n ^ { \prime } ) $ 是点 $ P ( m, n ) $ 的限变点.例如:点 $ P _ { 1 } ( 2, 5 ) $ 的限变点是 $ P _ { 1 } ^ { \prime } ( 2, 1 ) $,点 $ P _ { 2 } ( - 2, 3 ) $ 的限变点是 $ P _ { 2 } ^ { \prime } ( - 2, - 3 ) $.若点 $ P ( m, n ) $ 在二次函数 $ y = - x ^ { 2 } + 4 x + 2 $ 的图像上,则当 $ - 1 \leq m \leq 3 $ 时,其限变点 $ P ^ { \prime } $ 的纵坐标 $ n ^ { \prime } $ 的取值范围是____- 2≤n'≤3.

答案： - 2≤n'≤3

18. (牡丹江中考)如图,抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $ 的顶点为 $ ( 1, n ) $,与x轴的一个交点为 $ B ( 3, 0 ) $,与y轴的交点在 $ ( 0, - 3 ) $ 和 $ ( 0, - 2 ) $ 之间.下列结论:① $ \frac { a b } { c } ＞ 0 $;② $ - 2 ＜ b ＜ - \frac { 5 } { 3 } $;③ $ ( a + c ) ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 0 $;④ $ 2 c - a ＜ 2 n $.其中正确的有____.(填序号)

①③

答案： ①③

19. (8分)已知二次函数 $ y = m ( x - 1 ) ( x - m - 3 ) $ (m为常数,且 $ m \neq 0 $).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴总有公共点;
(2)设该函数的图像与y轴交于点A,若点A在x轴上方,求m的取值范围.

答案：
(1)当y = 0时，m(x - 1)(x - m - 3) = 0，解得x₁ = 1，x₂ = m + 3，
∴二次函数y = m(x - 1)(x - m - 3)的图像与x轴必有一个公共点(1，0)，
∴不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点。
(2)当x = 0时，y = m² + 3m，
∴点A坐标为(0，m² + 3m)。
∵该函数的图像与y轴交于点A，点A在x轴上方，
∴m² + 3m ＞ 0。设z = m² + 3m，即z是关于m的二次函数，当m = 0或 - 3时，z = 0。
∵抛物线z = m² + 3m的图像开口向上，
∴当m ＞ 0或m ＜ - 3时，z ＞ 0，
∴m的取值范围是m ＞ 0或m ＜ - 3。

20. (8分)(2023·潍坊中考)工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,$ A B // D E $,AB与DE之间的距离为2米,$ A B = 3 $ 米,$ A F = B C = 1 $ 米,$ \angle A = \angle B = 90 ^ { \circ } $,$ \angle C = \angle F = 135 ^ { \circ } $.MH、HG、GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时,矩形铁皮MNGH的面积最大?最大面积是多少?

答案： 如图，连接CF，分别交GN、HM于点P、Q。
∵AF = BC = 1米，∠A = ∠B = 90°，
∴CF//AB，
∴∠AFC = ∠BCF = 90°，
∴四边形ABCF是矩形。
∵四边形MNGH是矩形，
∴∠HMN = ∠MNG = 90°，MH = NG，
∴∠HQF = ∠GPC = 90°，MQ = AF = NP = BC = 1米。
∵∠BCG = ∠AFH = 135°，
∴∠HFQ = ∠GCP = 45°，
∴FQ = HQ，CP = GP，
∴FQ = HQ = MH - MQ = MH - 1同理得CP = MH - 1，
∴AM = NB = MH - 1，
∴MN = AB - AM - NB = = 3 - (MH - 1) - (MH - 1) = 5 - 2MH，
∴S矩形MNGH = MN·MH = (5 - 2MH)·MH = 5MH - 2MH² = - 2(MH² - 5/2MH) = - 2(MH - 5/4)² + 25/8，
∴当MH = 5/4米时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积为25/8平方米。