《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

21. (8 分)请仅用无刻度的直尺完成下列作图:
(1)在图①所示的小正方形网格中,每个小正方形的顶点叫做格点,点 $A$、$B$、$O$ 是格点,$\odot O$ 经过 $A$、$B$ 两点,点 $D$ 是 $\odot O$ 与格线的交点,在优弧 $\overgroup { B D }$ 上作点 $E$,使得 $\overgroup { B E } = \overgroup { A B }$;
(2)如图②,$AB$ 是 $\odot O$ 的弦,$C$ 是圆上一点,点 $D$ 在 $AB$ 上,$\angle A C D = 48 ^ { \circ }$,作 $\mathrm { Rt } \triangle A E F$,使得 $\angle F A E = 42 ^ { \circ }$.

答案：

(1)如图①,点 E 即为所求.
(2)如图②,$△AEF$即为所求.(合理即可)

22. (8 分)(扬州中考)如图,在四边形 $ABCD$ 中,$A D / / B C$,$\angle B A D = 90 ^ { \circ }$,$C B = C D$,连接 $BD$,以点 $B$ 为圆心,$BA$ 长为半径作 $\odot B$,交 $BD$ 于点 $E$.
(1)试判断 $CD$ 与 $\odot B$ 的位置关系,并说明理由;
(2)若 $A B = 2 \sqrt { 3 }$,$\angle B C D = 60 ^ { \circ }$,求图中阴影部分的面积.

答案：
(1)CD 与$\odot B$相切,理由如下:过点 B 作$BF⊥CD$,垂足为 F,$\because AD// BC,\therefore ∠ADB = ∠CBD.\because CB = CD,\therefore ∠CBD = ∠CDB,\therefore ∠ADB = ∠CDB$.在$△ABD$和$△FBD$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAD = ∠BFD\\ ∠ADB = ∠FDB\\ BD = BD\end{array}\right. \therefore △ABD\cong △FBD(AAS),\therefore BF = BA$,则点 F 在$\odot B$上,
∴CD 与$\odot B$相切.
(2)$\because ∠BCD = 60^{\circ },CB = CD$,
∴△BCD 是等边三角形,$\therefore ∠CBD = 60^{\circ }.\because BF⊥CD,\therefore ∠ABD = ∠DBF = ∠CBF = 30^{\circ }.\because AB = BF = 2\sqrt{3}$,易得$AD = DF = 2$,
∴阴影部分的面积=$S_{△ABD} - S_{扇形ABE} = \frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2 - \frac{30π×(2\sqrt{3})^{2}}{360} = 2\sqrt{3} - π.$

23. (8 分)如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$C$ 为 $\odot O$ 上一点,$D$ 在 $AB$ 上,且 $A D = A C$,$CD$ 的延长线与 $\odot O$ 交于点 $E$.
(1)求证:$\angle C A B = 2 \angle B C E$;
(2)若 $A B = 4$,$C E = 2 \sqrt { 2 }$,求 $\angle B C E$ 的度数.

答案：

(1)
∵AB 是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ACB = 90^{\circ },\therefore ∠CAB + ∠CBA = 90^{\circ },\therefore ∠CBA = 90^{\circ } - ∠CAB.\because AC = AD,\therefore ∠ACD = ∠ADC.\because ∠ADC = ∠BCE + ∠CBA,∠ACD + ∠ADC + ∠CAB = 180^{\circ },\therefore 2(∠BCE + ∠CBA) + ∠CAB = 180^{\circ },\therefore 2∠BCE + 2(90^{\circ } - ∠CAB) + ∠CAB = 180^{\circ },\therefore 2∠BCE - ∠CAB = 0^{\circ }$,即$∠CAB = 2∠BCE.$
(2)如图所示,连接 CO 并延长交$\odot O$于点 F,连接 EF,
∵AB 与 CF 都是$\odot O$的直径,$\therefore CF = AB = 4,∠CEF = 90^{\circ },\therefore EF = \sqrt{CF^{2} - CE^{2}} = \sqrt{4^{2} - (2\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{2},\therefore EF = CE,\therefore ∠ECF = ∠EFC = 45^{\circ }.\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ACB = 90^{\circ },\therefore ∠ACO + ∠BCE = ∠ACB - ∠ECF = 45^{\circ }.\because OA = OC,\therefore ∠CAB = ∠ACO,\therefore ∠BCE + ∠CAB = 45^{\circ }.$又$\because ∠CAB = 2∠BCE,\therefore ∠BCE + 2∠BCE = 45^{\circ },\therefore ∠BCE = 15^{\circ }.$