《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23. (10分)(临沂中考)公路上正在行驶的甲车,发现前方20 m处沿同一方向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车行驶的路程 $ s $(单位:m)、速度 $ v $(单位:m/s)与时间 $ t $(单位:s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,其图像如图①②所示.
(1)当甲车减速至9 m/s时,它行驶的路程是多少?
(2)若乙车以10 m/s的速度匀速行驶,两车何时相距最近?最近距离是多少?

答案：
(1)由题图可知，设二次函数表达式为$s=at^2 + bt$，一次函数表达式为$v=kt + c$。
∵一次函数图像经过$(8,8)$，$(0,16)$，则$\begin{cases}8k + c=8\\c=16\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\c=16\end{cases}$，
∴一次函数表达式为$v=-t + 16$。令$v=9$，则$t=7$。
∵二次函数图像经过$(2,30)$，$(4,56)$，则$\begin{cases}4a + 2b=30\\16a + 4b=56\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=16\end{cases}$，
∴二次函数表达式为$s=-\frac{1}{2}t^2 + 16t$，令$t=7$，则$s=-\frac{1}{2}×7^2 + 16×7=87.5$，答：当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
(2)
∵当$t=0$时，甲车的速度为16m/s，当$10＜v＜16$时，两车之间的距离逐渐变小，当$0＜v＜10$时，两车之间的距离逐渐变大，
∴当$v=10m/s$时，两车之间距离最小。将$v=10$代入$v=-t + 16$中，得$t=6$，将$t=6$代入$s=-\frac{1}{2}t^2 + 16t$中，得$s=-\frac{1}{2}×6^2 + 16×6=78$，此时两车之间的距离为$10×6 + 20 - 78=2$（m），答：减速6s时两车相距最近，最近距离是2m。

24. (12分)(烟台中考)如图,已知直线 $ y = \frac{4}{3}x + 4 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过 $ A、C $ 两点,且与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ B $,对称轴为直线 $ x = -1 $.
(1)求抛物线的表达式.
(2)$ D $ 是第二象限内抛物线上的动点,设点 $ D $ 的横坐标为 $ m $,求四边形 $ ABCD $ 面积 $ S $ 的最大值及此时点 $ D $ 的坐标.
(3)若点 $ P $ 在抛物线对称轴上,是否存在点 $ P、Q $,使以点 $ A、C、P、Q $ 为顶点的四边形是以 $ AC $ 为对角线的菱形?若存在,请求出 $ P、Q $ 两点的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)在$y=\frac{4}{3}x + 4$中，当$x=0$时，$y=4$，
∴$C(0,4)$。当$y=0$时，$\frac{4}{3}x + 4=0$，
∴$x=-3$，
∴$A(-3,0)$。
∵抛物线对称轴为直线$x=-1$，
∴$B(1,0)$，设抛物线的表达式为$y=a(x - 1)(x + 3)$，
∴$4=-3a$，
∴$a=-\frac{4}{3}$，
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{4}{3}(x - 1)(x + 3)=-\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x + 4$；
(2)如图，作$DF\perp AB$于点$F$，交$AO$于点$E$，
∵设点$D$横坐标为$m$，
∴$D(m,-\frac{4}{3}m^2-\frac{8}{3}m + 4)$，$E(m,\frac{4}{3}m + 4)$，
∴$DE=-\frac{4}{3}m^2-\frac{8}{3}m + 4 - (\frac{4}{3}m + 4)=-\frac{4}{3}m^2 - 4m$，
∴$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}DE\cdot OA=\frac{1}{2}×(-\frac{4}{3}m^2 - 4m)×3=-2m^2 - 6m$。$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}×4×4=8$，
∴$S=-2m^2 - 6m + 8=-2(m + \frac{3}{2})^2+\frac{25}{2}$。当$m=-\frac{3}{2}$时，$S$有最大值为$\frac{25}{2}$。当$m=-\frac{3}{2}$时，$y=-\frac{4}{3}×(-\frac{3}{2}-1)×(-\frac{3}{2}+3)=5$，
∴$D(-\frac{3}{2},5)$；
(3)存在点$P$和点$Q$，使以点$A$、$C$、$P$、$Q$为顶点的四边形是以$AC$为对角线的菱形，理由如下：设$P(-1,n)$，
∵以$A$、$C$、$P$、$Q$为顶点的四边形是以$AC$为对角线的菱形，
∴$PA=PC$，即$PA^2=PC^2$，
∴$(-1 + 3)^2 + n^2=1 + (n - 4)^2$，
∴$n=\frac{13}{8}$，
∴$P(-1,\frac{13}{8})$。
∵$x_P + x_Q=x_A + x_C$，$y_P + y_Q=y_A + y_C$，
∴$x_Q=-3 - (-1)=-2$，$y_Q=4 - \frac{13}{8}=\frac{19}{8}$，
∴$Q(-2,\frac{19}{8})$。故存在点$P(-1,\frac{13}{8})$，$Q(-2,\frac{19}{8})$，使以点$A$、$C$、$P$、$Q$为顶点的四边形是以$AC$为对角线的菱形。