《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

20. (8分)如图,BD、AC相交于点P,连接AB、BC、CD、DA,$∠1= ∠2$.
(1)求证:$\triangle ADP\backsim \triangle BCP$;
(2)若$AB= 8$,$CD= 4$,$DP= 3$,求AP的长.

答案：
(1)
∵∠1=∠2,∠DPA=∠CPB,
∴△ADP∽△BCP.
(2)
∵△ADP∽△BCP,
∴$\frac{AP}{BP}=\frac{DP}{CP}$.
∵∠APB=∠DPC,
∴△APB∽△DPC,
∴$\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{DC}$,即$\frac{AP}{3}=\frac{8}{4}$,
∴$AP=6$.

21. (8分)晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军:“你有多高?”小军一时语塞.小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是,两人在灯下沿直线NQ移动,如图,当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时,其影长AD恰好为1块地砖长;当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时,其影长BF恰好为2块地砖长.已知广场地面由正方形地砖铺成,小聪的身高AC为1.6m,$MN⊥NQ$,$AC⊥NQ$,$BE⊥NQ$.请你根据以上信息,求出小军身高BE的长.(结果精确到0.01m)

答案： 由题意,得∠CAD=∠MND=90°,∠CDA=∠MDN,
∴△CAD∽△MND,
∴$\frac{CA}{MN}=\frac{AD}{ND}$,
∴$\frac{1.6}{MN}=\frac{1}{5 + 1}$,
∴$MN=9.6m$.又
∵∠EBF=∠MNF=90°,∠EFB=∠MFN,
∴△EFB∽△MFN,
∴$\frac{EB}{MN}=\frac{BF}{NF}$,
∴$\frac{EB}{9.6}=\frac{2}{2 + 9}$,
∴$EB≈1.75m$,
∴小军身高BE的长约为1.75m.