《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

15. 如图,$ E $、$ F $、$ G $、$ H $分别是平行四边形 A B C D 各边的中点,$ C E = 3 \mathrm { cm } $,则$ A N = $2$\mathrm { cm } $.

答案： 2

16. 如图,将边长为$ 8 \mathrm { cm } 的正方形纸片 A B C D $折叠,使点$ D 落在 B C 边的中点 E $处,点$ A 落在点 F $处,折痕为$ M N $,则线段$ F M $的长度为1cm.

答案： 1cm

17.(2023·无锡中考)如图,在$ \triangle A B C $中,$ \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } $,$ A B = 4 $,$ A C = x $,$ \angle B A C = \alpha $,$ O 为 A B $的中点,若点$ D 为直线 B C $下方一点,且$ \triangle B C D 与 \triangle A B C $相似,则下列结论:
①若$ \alpha = 4 5 ^ { \circ } $,$ B C 与 O D 相交于点 E $,则点$ E 不一定是 \triangle A B D $的重心;
②若$ \alpha = 6 0 ^ { \circ } $,则$ A D 的最大值为 2 \sqrt { 7 } $;
③若$ \alpha = 6 0 ^ { \circ } $,$ \triangle A B C \backsim \triangle C B D $,则$ O D 的长为 2 \sqrt { 3 } $;
④若$ \triangle A B C \backsim \triangle B C D $,则当$ x = 2 $时,$ A C + C D $取得最大值.
其中正确的为____.(填序号)

①④

答案： ①④

18. 如图,在平面直角坐标系中,$ A ( 2 , 0 ) $、$ B ( 0 , 2 ) $、$ C ( 4 , 0 ) $、$ D ( 5 , 3 ) $,点$ P $是第一象限内一动点,且$ \angle A P B = 1 3 5 ^ { \circ } $,则$ 4 P D + 2 P C $的最小值为____.

答案： 20

19.(8分)如图,在$ \triangle A B C $中,$ E F // C D $,$ D E // B C $.
(1)求证:$ A F : F D = A D : D B $;
(2)若$ A B = 1 5 $,$ A D : B D = 2 : 1 $,求$ D F $的长.

答案：
(1)
∵EF//CD，
∴AF/FD=AE/EC。
∵DE//BC，
∴AD/BD=AE/EC。
∴AF/FD=AD/BD，即AF:FD=AD:DB。
(2)
∵AD:BD=2:1，
∴BD=$\frac{1}{2}$AD。
∴AD$\frac{+1}{2}$AD=15，
∴AD=10。
∵AF:FD=AD:DB，
∴AF:FD=2:1，
∴AF=2DF。
∵AF+DF=10，
∴2DF+DF=10，
∴DF=$\frac{10}{3}$。