《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

8.新趋势 数学文化我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法.以方程$x^{2}+2x-35= 0$,即$x(x+2)= 35$为例说明,记载的方法是:构造如图所示的图形,大正方形的面积是$(x+x+2)^{2}$.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即$4×35+2^{2}$,因此$x= 5$.则在下面四个选项中,能正确说明方程$x^{2}-5x-6= 0$解法的是 (D)

答案： D

9.若关于x的方程$ax^{2}+4x-3= x^{2}$是一元二次方程,则a的取值范围是a≠1.

答案： a≠1

10.(宿迁中考改编)若关于x的一元二次方程$x^{2}+ax-6= 0$的一个根是3,则另一个根为−2.

答案： −2

11.(临沂模拟)若一元二次方程$x^{2}+mx+1= 0$经过配方,变形为$(x+3)^{2}= n$的形式,则mn的值为48.

答案： 48

12.(兰州中考改编)关于x的一元二次方程$kx^{2}+2x-1= 0$有两个相等的实数根,则k=−1.

答案： −1

13.(2025·安阳模拟)某4S店统计了今年6月份和8月份的某新能源汽车利润额分别为25万元和30.25万元,则从6月份到8月份利润额的月平均增长率为10%.

答案： 10%

14.新趋势 代数推理(南通中考)若m、n是一元二次方程$x^{2}+3x-1= 0$的两个实数根,则$\frac {m^{3}+m^{2}n}{3m-1}$的值为3.

答案： 3

15.已知$x= m是一元二次方程x^{2}+2x+n-3= 0$的一个根,则$m+n$的最大值等于$\frac{13}{4}$.

答案： $\frac{13}{4}$

16.(枣庄中考)若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程$x^{2}-6x+n= 0$的两个根,则n的值为8或9.

答案： 8或9

17.如图,在$Rt△ACB$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 30cm,BC= 21cm$,动点P从点C出发,沿CA方向运动,同时动点Q从点B出发,沿BC方向运动,点P、Q的运动速度均为1cm/s.当运动时间为9或12s时,P、Q两点相距15cm.

答案： 9或12

18.新题型 新定义如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有两个实数根,且其中一个根为另外一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”,以下关于“倍根方程”的说法,正确的有②③④.(填序号)
①方程$x^{2}-x-2= 0$是“倍根方程”;
②若$(x-2)(mx+n)= 0$是“倍根方程”,则$4m^{2}+5mn+n^{2}= 0$;
③若p、q满足$pq= 2$,则关于x的方程$px^{2}+3x+q= 0$是“倍根方程”;
④若方程$ax^{2}+bx+c= 0$是“倍根方程”,则必有$2b^{2}= 9ac$.

答案： ②③④