《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

25.(12分)新趋势项目式学习(2024·镇江中考)主题学习:仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务:如图①,点$ D $、$ E 分别在 \triangle A B C 的边 A B $、$ A C $上,$ D E // B C $,仅用一把无刻度的直尺作$ D E $、$ B C $的中点.
操作:如图②,连接$ B E $、$ C D 交于点 P $,连接$ A P 交 D E 于点 M $,延长$ A P 交 B C 于点 N $,则$ M $、$ N 分别为 D E $、$ B C $的中点.
理由:由$ D E // B C 可得 \triangle A D M \backsim \triangle A B N 及 \triangle A E M \backsim \triangle A C N $,所以$ \frac { D M } { B N } = \frac { A M } { A N } $,$ \frac { E M } { C N } = \frac { A M } { A N } $,所以$ \frac { D M } { E M } = \frac { B N } { C N } $.同理,由$ \triangle D M P \backsim \triangle C N P 及 \triangle E M P \backsim \triangle B N P $,可得$ \frac { D M } { C N } = \frac { M P } { N P } $,$ \frac { E M } { B N } = \frac { M P } { N P } $,所以$ \frac { D M } { E M } = \frac { C N } { B N } $.所以$ \frac { B N } { C N } = \frac { C N } { B N } $,则$ B N = C N $,$ D M = E M $,即$ M $、$ N 分别为 D E $、$ B C $的中点.
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图,要求:不写作法,保留作图痕迹.
(1)如图③,$ l _ { 1 } // l _ { 2 } $,点$ E $、$ F 在直线 l _ { 2 } $上.
①作线段$ E F $的中点;
②在①中作图的基础上,在直线$ l _ { 2 } 上位于点 F 的右侧作一点 P $,使得$ P F = E F $.
(2)小明发现,如果重复上面的过程,就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…$ $、$ k $倍($ k $为正整数)的线段.如图④,$ l _ { 1 } // l _ { 2 } $,已知点$ P _ { 1 } $、$ P _ { 2 } 在 l _ { 1 } $上,他利用上述方法作出了$ P _ { 2 } P _ { 3 } = P _ { 3 } P _ { 4 } = P _ { 1 } P _ { 2 } $.点$ E $、$ F 在直线 l _ { 2 } $上,请在图④中作出线段$ E F $的三等分点.
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图,要求:不写作法,保留作图痕迹.
(3)如图⑤,$ D E 是 \triangle A B C $的中位线.请在线段$ E C 上作出一点 Q $,使得$ Q E = \frac { 1 } { 3 } C E $(要求用两种方法).

答案：
【实践操作】
(1)①如图③，点M即为所求作的点。
②如图②，点P即为所求作的点。
(2)作法一：如图③，
作法二：如图④。
【探索发现】
(3)作法一：如图⑤，
作法二：如图⑥。
作法三：如图⑦。
作法四：如图⑧。
作法五：如图⑨。
点Q即为所求作的点。