《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23.(10分)(2024·徐州中考)如图,在$ □ A B C D $中,$ A B = 6 $,$ A D = 1 0 $,$ \angle B A D = 6 0 ^ { \circ } $,$ P 为边 A B $上的动点.连接$ P C $,将$ P C 绕点 P 逆时针旋转 6 0 ^ { \circ } 得到 P E $,过点$ E 作 E F // A B $,$ E F 交直线 A D 于点 F $.连接$ P F $、$ D E $,分别取$ P F $、$ D E 的中点 M $、$ N $,连接$ M N $,交$ A D 于点 Q $.
(1)若点$ P 与点 B $重合,则线段$ M N $的长度为____5.
(2)随着点$ P $的运动,$ M N 与 A Q $的长度是否发生变化? 若不变,求出$ M N 与 A Q $的长度;若改变,请说明理由.

(2)结论：不变。
如图②，连接FN并延长到点G，使得FN=GN，连接GE、DG，延长EG、BA交于点H，连接PG。延长AB至点K，使得BK=BC，连接CK、CE，设PG与AD交于点I。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=60°，AD//BC，CD//AB，BC=AD=10。
∵点N为DE中点，
∴EN=DN；
∵FN=GN，
∴四边形GEFD为平行四边形，
∴GE//AF，GD//EF。
∵EF//AB，CD//AB，
∴GD//EF//HB，HG//AF，
∴四边形HADG为平行四边形，
∴HG=AD。
∵HG//AF，
∴∠BAD=∠AHG=60°。在平行四边形ABCD中，
∵∠BAD=60°，AD//CB，
∴∠CBK=60°。
∵BC=BK，
∴△BKC是等边三角形，
∴∠K=60°，KC=BC=AD=10，由旋转得∠EPC=60°，PE=PC，
∵∠H=60°，∠H+∠HEP+∠HPE=180°，
∴∠HEP+∠HPE=120°，∠HPE+∠CPK=180°-60°=120°，
∴∠HEP=∠CPK，又∠K=∠H=60°，PE=PC，
∴△EHP≌△PKC(AAS)，
∴HP=KC=AD=HG=10，
∴△PGH为等边三角形。
∵点M、N分别为PF、GF的中点，
∴MN为△PGF的中位线，MN=1/2PG。
∵PG=HG=AD=10，
∴MN=5。即MN的长度不变。
∵△CPE和△GPH都为等边三角形，
∴PH=PG，PE=PC，∠HPG=∠EPC=60°，∠PHG=∠PGH=60°，
∴∠GPC=∠HPE，
∴△HPE≌△GPC(SAS)，
∴GC=HE=AF。
∵∠PHG=∠PGH=60°，HG//AF，
∴∠PAI=∠PHG=∠PGH=∠PIA=∠API=60°，
∴△API为等边三角形。同理：△GDI为等边三角形，
∴GD=ID，AP=AI，
∴AF-DI=CG-DG，
∴AI+DF=DC=6=AP+PB。
∵AP=AI，
∴PB=DF，设AP=a，则PB=6-a=DF，AI=AP=a，ID=10-a，
∴IF=ID+DF=10-a+6-a=16-2a。
∵MN为△GFP的中位线，
∴MN//GP，
∴FQ/IQ=FN/GN=1，
∴FQ=IQ。
∵M是PF的中点，
∴Q为IF中点，
∴IQ=1/2IF=8-a，
∴AQ=AI+IQ=a+8-a=8。故MN和AQ的长度都不变。

答案：
(1)5
(2)结论：不变。
如图②，连接FN并延长到点G，使得FN=GN，连接GE、DG，延长EG、BA交于点H，连接PG。延长AB至点K，使得BK=BC，连接CK、CE，设PG与AD交于点I。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=60°，AD//BC，CD//AB，BC=AD=10。
∵点N为DE中点，
∴EN=DN；
∵FN=GN，
∴四边形GEFD为平行四边形，
∴GE//AF，GD//EF。
∵EF//AB，CD//AB，
∴GD//EF//HB，HG//AF，
∴四边形HADG为平行四边形，
∴HG=AD。
∵HG//AF，
∴∠BAD=∠AHG=60°。在平行四边形ABCD中，
∵∠BAD=60°，AD//CB，
∴∠CBK=60°。
∵BC=BK，
∴△BKC是等边三角形，
∴∠K=60°，KC=BC=AD=10，由旋转得∠EPC=60°，PE=PC，
∵∠H=60°，∠H+∠HEP+∠HPE=180°，
∴∠HEP+∠HPE=120°，∠HPE+∠CPK=180°-60°=120°，
∴∠HEP=∠CPK，又∠K=∠H=60°，PE=PC，
∴△EHP≌△PKC(AAS)，
∴HP=KC=AD=HG=10，
∴△PGH为等边三角形。
∵点M、N分别为PF、GF的中点，
∴MN为△PGF的中位线，MN=1/2PG。
∵PG=HG=AD=10，
∴MN=5。即MN的长度不变。
∵△CPE和△GPH都为等边三角形，
∴PH=PG，PE=PC，∠HPG=∠EPC=60°，∠PHG=∠PGH=60°，
∴∠GPC=∠HPE，
∴△HPE≌△GPC(SAS)，
∴GC=HE=AF。
∵∠PHG=∠PGH=60°，HG//AF，
∴∠PAI=∠PHG=∠PGH=∠PIA=∠API=60°，
∴△API为等边三角形。同理：△GDI为等边三角形，
∴GD=ID，AP=AI，
∴AF-DI=CG-DG，
∴AI+DF=DC=6=AP+PB。
∵AP=AI，
∴PB=DF，设AP=a，则PB=6-a=DF，AI=AP=a，ID=10-a，
∴IF=ID+DF=10-a+6-a=16-2a。
∵MN为△GFP的中位线，
∴MN//GP，
∴FQ/IQ=FN/GN=1，
∴FQ=IQ。
∵M是PF的中点，
∴Q为IF中点，
∴IQ=1/2IF=8-a，
∴AQ=AI+IQ=a+8-a=8。故MN和AQ的长度都不变。

24.(12分)(2024·广西中考)如图①,在$ \triangle A B C $中,$ \angle B = 9 0 ^ { \circ } $,$ A B = 6 $.$ A C 的垂直平分线分别交 A C $、$ A B 于点 M $、$ O $,$ C O 平分 \angle A C B $.
(1)求证:$ \triangle A B C \backsim \triangle C B O $.
(2)如图②,将$ \triangle A O C 绕点 O 逆时针旋转得到 \triangle A ^ { \prime } O C ^ { \prime } $,旋转角为$ \alpha ( 0 ^ { \circ } ＜ \alpha ＜ 3 6 0 ^ { \circ } ) $.连接$ A ^ { \prime } M $,$ C ^ { \prime } M $.
①求$ \triangle A ^ { \prime } M C ^ { \prime } 面积的最大值及此时旋转角 \alpha $的度数,并说明理由;
②当$ \triangle A ^ { \prime } M C ^ { \prime } $是直角三角形时,请直接写出旋转角$ \alpha $的度数.

答案：
(1)
∵MO垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠A=∠ACO。
∵CO平分∠ACB，
∴∠ACO=∠OCB，
∴∠A=∠OCB，又
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBO。
(2)①
∵∠B=90°，
∴∠A+∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠A=∠ACO=∠OCB=30°，
∴BO=1/2CO=1/2AO。又AB=AO+BO=6，
∴BO=2，AO=4。
∵MO垂直平分AC，
∴OM=1/2AO=2，AC=2AM，
∴AM=√(AO²-OM²)=2√3，
∴AC=4√3。取A'C'中点M'，连接OM'、MM'，作MN⊥A'C'于点N，如图①，由旋转的性质知△AOC≌△A'OC'，OM'为OM旋转α所得线段，
∴OM'⊥A'C'，A'C'=AC=4√3，OM'=OM=2，根据垂线段最短知MN≤MM'，又MM'≤MO+OM'，
∴当M、O、M'三点共线，且点O在线段MM'上时，MN取最大值，最大值为2+2=4，此时α=180°，
∴△A'M'C'面积的最大值为1/2×4√3×4=8√3。
②旋转角α的度数为120°或240°。